Phương pháp giải Sử dụng phương pháp cộng đại số, phương pháp thế, dùng định thức. Ví dụ 1:Giải các hệ phương trình sau: a) \(\left\{ \begin{array}{l}5x - 4y = 3\\7x - 9y = 8\end{array} \right.\) b) \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 11\\5x - 4y = 8\end{array} \right.\) Hướng dẫn:a) Ta có \(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}5&{ - 4}\\7&{ - 9}\end{array}} \right| = - 17\), \({D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&{ - 4}\\8&{ - 9}\end{array}} \right| = 5,\,\,{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}5&3\\7&8\end{array}} \right| = 19\) Suy ra hệ phương trình có nghiệm là \(\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{{D_x}}}{D};\frac{{{D_y}}}{D}} \right) = \left( { - \frac{5}{{17}}; - \frac{{19}}{{17}}} \right)\) b) Ta có \(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\5&{ - 4}\end{array}} \right| = - 13\), \({D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{11}&1\\8&{ - 4}\end{array}} \right| = - 52,\,\,{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{11}\\5&8\end{array}} \right| = - 39\) Suy ra hệ phương trình có nghiệm là \(\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{{D_x}}}{D};\frac{{{D_y}}}{D}} \right) = \left( {4;3} \right)\) Ví dụ 2:Giải các hệ phương trình sau: a) \(\left\{ \begin{array}{l}(x + 3)y - 5) = xy\\(x - 2)(y + 5) = xy\end{array} \right.\) b) \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {x - y} \right| = \sqrt 2 \\2x - y = - 1\end{array} \right.\) c) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{3(x + y)}}{{x - y}} = - 7\\\frac{{5x - y}}{{y - x}} = \frac{5}{3}\end{array} \right.\) Hướng dẫn:a) Hệ phương trình tương đương với \(\left\{ \begin{array}{l}xy - 5x + 3y - 15 = xy\\xy + 5x - 2y - 10 = xy\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 5x + 3y = 15}\\{5x - 2y = 10}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 25}\\{5x - 2y = 10}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 12}\\{y = 25}\end{array}} \right.\) Vậy hệ phương trình có nghiệm là \(\left( {x;y} \right) = \left( {12;25} \right)\) b) Hệ phương trình tương đương với\(\left\{ \begin{array}{l}x - y = \pm \sqrt 2 \\2x - y = - 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y = \sqrt 2 \\2x - y = - 1\end{array} \right.\) (1) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = - \sqrt 2 \\2x - y = - 1\end{array} \right.\) (2) Ta có \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1 - \sqrt 2 \\2x - y = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 - \sqrt 2 }\\{y = - 1 - 2\sqrt 2 }\end{array}} \right.\) \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + \sqrt 2 \\2x - y = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 - \sqrt 2 }\\{y = - 1 + 2\sqrt 2 }\end{array}} \right.\) Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) là \(\left( { - 1 - \sqrt 2 ; - 1 - 2\sqrt 2 } \right)\) và \(\left( { - 1 - \sqrt 2 ; - 1 + 2\sqrt 2 } \right)\) c) ĐKXĐ: \(x \ne y\) Hệ phương trình tương đương với \(\left\{ \begin{array}{l}3(x + y) = - 7\left( {x - y} \right)\\3\left( {5x - y} \right) = 5\left( {y - x} \right)\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{10x - 4y = 0}\\{20x - 8y = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = 0}\end{array}} \right.\) (không thỏa mãn) Vậy hệ phương trình vô nghiệm. DẠNG TOÁN 2: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨNPhương pháp giải: Sử dụng định thức: Tính \(D,\,{D_x},\,{D_y}\) \( \bullet \) Nếu \(D \ne 0\) thì hệ có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{{D_x}}}{D};\frac{{{D_y}}}{D}} \right)\) \( \bullet \) Nếu \(D = 0\) thì ta xét \({D_x},\,{D_y}\) Với \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{D_x} \ne 0}\\{{D_y} \ne 0}\end{array}} \right.\) khi đó phương trình vô nghiệm Với \({D_x} = {D_y} = 0\) thì hệ phương trình có vô số nghiệm tập nghiệm của hệ phương trình là tập nghiệm của một trong hai phương trình có trong hệ. Ví dụ:Giải và biện luận hệ phương trình:\(\left\{ \begin{array}{l}mx - y = 2m\\4x - my = m + 6\end{array} \right.\) Hướng dẫn:Ta có \(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&{ - 1}\\4&{ - m}\end{array}} \right| = 4 - {m^2} = \left( {2 - m} \right)\left( {2 + m} \right)\) \({D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2m}&{ - 1}\\{m + 6}&{ - m}\end{array}} \right| = - 2{m^2} + m + 6 = \left( {2 - m} \right)\left( {2m + 3} \right)\)
+ Khi \(m = 2\) ta có \({\rm{D}} = {D_x} = {D_y} = 0\) nên hệ phương trình có nghiệm là nghiệm của phương trình \(2x - y = 4 \Leftrightarrow y = 2x - 4\). Do đó hệ phương trình có nghiệm là \(\left( {x;y} \right) = \left( {t;2t - 4} \right),\,\,t \in R\). + Khi \(m = - 2\) ta có \(D = 0,\,{D_x} \ne 0\) nên hệ phương trình vô nghiệm Kết luận \(m \ne 2\) và \(m \ne - 2\) hệ phương trình có nghiệm duy nhất\(\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{2m + 3}}{{2 + m}}; - \frac{m}{{2m + 1}}} \right)\) \(m = 2\)hệ phương trình có nghiệm là \(\left( {x;y} \right) = \left( {t;2t - 4} \right),\,\,t \in R\). \(m = - 2\) hệ phương trình vô nghiệm PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU Ẩn I - ÔN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Phương trình bậc nhất hai ẩn Phương trình bậc nhất hai ẩn X, y có dạng tổng quát là ' ax + by - c ■ (1) trong đó a, b, c là các hệ số, với điều kiện a và b không đồng thời bằng 0. 1 Cặp (1 ; -2) có phải là một nghiệm của phương trình 3x -2y = 7 không ? Phương trình đó còn có những nghiệm khác nữa không ? CHÚ Ý a) Khi a = b = 0 ta có phương trình Ox + Oy = c. Nếu c 0 thì phương trình này vô nghiệm, còn nếu c = 0 thì mọi cặp số (x0 ; y0) đều là nghiệm. b) Khi b * 0, phương trình ax + by = c trở thành a c (2) Cặp số (.v0 ; }’o) là một nghiệm của phương trình (1) khi và chỉ khi điểm M(xq ; >’q) thuộc đường thẳng (2). Tổng quát, người ta chứng minh được rằng phương trình bậc nhất hai ẩn luôn luôn có vô sô' nghiệm. Biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình ịl) là một đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ Oxy. Hãy biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình 3x - 2y = 6. 2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là UịX + bịy = Cj (3) aọx + b^y = <?2 trong đó X, y là hai ẩn ; cấc chữ còn lại là hệ số. Nếu cặp số (a0 ; }’o) dồng thời là nghiệm của cả hai phương trình của hệ thì (xq ; y0) được gọi là một nghiệm của hệ phương trình (3). Giải hệ phương trình (3) là tìm tập nghiệm của nó. 3 a) Có mấy cách giải hệ phương trình 4x - 3y = 9 2x + y = 5? b) Dùng phương pháp cộng đại số để giải hệ phương trình 3x - 6y = 9 -2.V + 4y = -3. CÓ nhận xét gì về nghiệm của hệ phương trình này ? II - HỆ BA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA Ẩn Phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là ax + by + cz = d, trong đó X, y, z là ba ẩn ; a, b, c, d là các hệ số và ữ, b, c không đồng thời bằng 0. Chăng hạn, I 4 4 ’ 2 ) là nghiệm của hệ phương trình . 5 . 1 l 2 I I 2) 4y + 3z - 2z = (5) còn X + 3y - 2z = -ỉ 3 2 3, là nghiệm của hệ phương trình (6) X + 2y + 2z = 4- 2 2x + 3y + 5z = -2 -4x - 7y + z = -4. Hệ phương trình (5) có dạng đặc biệt, gọi là hệ phương trình dạng tam giác. Việc giải hệ phương trình dạng này rất đơn giản. Từ phương trình cuối tính được z rồi thay vào phương trình thứ hai ta tính được y và cuối cùng thay z và y tính được vào phương trình đầu sẽ tính được X. iHãy giải hệ phương trình (5). Mọi hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn đều biến đổi được về dạng tam giác, bằng phương pháp khử dần ẩn số( \ Chẳng hạn, sau đây là cách giải hệ phương trình (6). Giải. Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ (6) với -2 rồi cộng vào phương trình thứ hai theo từng vế tương ứng, nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 4 rồi cộng vào phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng, ta được hệ phương trình (đã khử -Y ở hai phương trình cuối) X + 2y + 2z = — 2 - y + z = -3 y + 9z -- -2. + 2z = 1 2 d~ z = -3 10z = -5. _ 5 7 = 2’ 2 r 7 5 1 12 ’2 ; 2 Ta dễ dàng giải ra được Tiếp tục cộng các vế tương ứng của phương trình thứ hai và phương trình thứ ba của hệ mới nhận được, ta được hệ phương trình tương đương dạng tam giác Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x ; y ; z) = Phương pháp này do nhà toán học Đức Gau-xơ (Gauss, 1777 - 1855) tìm ra, nên cũrig còn gọi là phương pháp Gau-xơ. BÀI ĐỌC THÊM Trong kho tàng văn hoá dân gian Việt Nam có bài toán "Trăm trâu trăm cỏ" sau đây Trăm trâu trăm cỏ, Trâu đứng ăn năm, Trâu nằm ăn ba, Lụ khụ trâu già, Ba con một bó. Hỏi có bao nhiêu trâu đứng, bao nhiêu trâu nằm, bao nhiêu trâu già ? Giải. Gọi sô' trâu đứng là X, sô' trâu nằm là y, sô' trâu già là z (x, y, 2 là những sô' nguyên dương nhỏ hơn 100). Ta có hệ phương trình X + y + z = 100 1 5x + 3y + 4-Z = 100. 3 Đây là hệ hai phương trình bậc nhất ba ẩn, nếu không tính đến điều kiện của ẩn thì hệ phương trình này có vô sô' nghiệm (nếu khử z ta được một phương trình bậc nhất của hai ẩn 7x + 4y = 100). Tuy nhiên, vì X, y, z phải là những sô' nguyên dương nhỏ hơn 100, nên chỉ có một sô' hữu hạn nghiệm, cụ thể ở đây có ba nghiệm Xj = 4 x2 = 8 - yr = 18 y2 = 11 /1 = 78 ; z2 = 81; = 12 = 4 = 84. Bài toán dân gian ỏ trên thuộc loại phương trình Đi-ô-phăng (mang tên nhà toán học cổ Hi Lạp là Diophante). Bài tạp 1. Cho hệ phương trình 7x - 5y - 9 14x -10y = 10. Tại sao không cần giải ta cũng kết luận được hệ phương trình nằy vô nghiệm ? 2. Giải các hệ phương trình a) c) 2x - 3y =1 X + 2y = 3; 2 , 1 2 —X + —y = — 3 2 3 1 3 1 -X - — y = — ; 13 4 2 b) d) 3x + 4y = 5 4x - 2y = 2. 0,3x - 0,2y = 0,5 0,5x + 0,4y = 1,2. Hai bạn Vân và Lan đến cửa hàng mua trái cây. Bạn Vân mua 10 quả quýt, 7 quả cam với giá tiền là 17 800 đồng. Bạn Lan mua 12 quả quýt, 6 quả cam hết 18 000 đồng. Hỏi giá tiền mỗi quả quýt và mỗi quả cam là bao nhiêu ? Có hai dây chuyền may áo sơ mi. Ngày thứ nhất cả hai dây chuyền may được 930 áo. Ngày thứ hai do dây chuyền thứ nhất tăng năng suất 18%, dây chuyền thứ hai tăng năng suất 15% nên cả hai dây chuyền may được 1083 áo. Hỏi trong ngày thứ nhất mỗi dây chuyền may được bao nhiêu áo sơ mi ? Giải các hệ phương trình X - 3y + 2z = -7 -2x + 4y + 3z = 8 3x + .y - z = 5. X + 3y + 2z = 8 à) ]2x + 2y + z = 6 b) 3x + y + z - 6 ; Một cửa hàng bán áo sơ mi, quần âu nam và váy nữ. Ngày thứ nhất bán được 12 áo, 21 quần và 18 váy, doanh thu là 5 349 000 đồng. Ngày thứ hai bán được 16 áo, 24 quần và 12 váy, doanh thu là 5 600 000 đồng. Ngày thứ ba bán được 24 áo, 15 quần và 12 váy, doanh thu là 5 259 000 đồng. Hỏi giá bán mỗi áo, mỗi quần và mỗi váy là bao nhiêu ? Giải các hệ phương trình sau bằng máy tính bỏ túi (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai) a) 3x - 5y = 6 4x + 7y = -8 ; b) -2x + 3y = 5 5x + 2y = 4. 2x - 3y + 4z = -5 c) ‘ -4x + 5y - z = 6 3x + 4-y - 3z = 7 ; Hướng dẫn cách giải câu a) - X + 2y - 3z = 2 2x + y + 2z--3 -2x -3y + z - 5. Nếu sử dụng máy tính CASIO fx-500 MS ta ấn liên tiếp dãy các phím ImqbeiImqdeI 00 00B0000000 0B00 thấy hiện ra trên màn hình X = 0.048780487. Ấn tiếp phím |~=~| ta thấy màn hình hiện ra y - -1.170731707. Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai ta được nghiệm gần đúng của hệ phương trình là X « 0,05 y «-1,17. Hướng dẫn cách giải câu c) Nếu sử dụng máy tính CASIO fx-500 MS ta ấn liên tiếp dãy các phím ImqdeIImodeI 0[3] 0000000000 o 0 00 Hi 0.0 0 0 0000H HH0H thấy hiện ra trên màn hình X = 0.217821782. Ấn tiếp phím [ = I ta thấy màn hình hiện ray = 1.297029703. Ấn tiếp phím p=~[ trên màn hình hiện ra z = -0.386138613. Vậy nghiệm gần đúng của hệ phương trình là (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai) % « 0,22 - y « 1,30 z « -0,39. |
