Giải bài 8 trang 91 SGK Hình học 12. Cho điểm M(1 ; 4 ; 2) và mặt phẳng (α): x + y + z -1 = 0. Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (α).Đề bài Cho điểm \(M(1 ; 4 ; 2)\) và mặt phẳng \((α): x + y + z -1 = 0\).
Phương pháp giải – Xem chi tiết
Bước 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với (P). Bước 2: Gọi \(H = d \cap \left( P \right)\), tìm tọa độ điểm H. H chính là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (P).
Lời giải chi tiết
Vectơ \(\overrightarrow{n}(1 ; 1 ; 1)\) là vectơ pháp tuyến của \((α)\) nên \(\overrightarrow{n}\) là vectơ chỉ phương của \(d\). Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) có dạng: \(\left\{\begin{matrix} x=1+t & \\ y=4+t & \\ z=2+t & \end{matrix}\right.\). Gọi \(H = d \cap \left( P \right)\), \(H \in d \Rightarrow H\left( {1 + t;4 + t;2 + t} \right)\), vì \(H \in \alpha\) nên ta có: \(1 + t + 4 + t + 2 + t – 1 = 0 \Leftrightarrow 3t + 6 = 0\) \(\Leftrightarrow t = – 2 \Rightarrow H\left( { – 1;2;0} \right)\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{M’}} = 2{x_H} – {x_M} = 2.\left( { – 1} \right) – 1 = – 3\\{y_{M’}} = 2{y_H} – {y_M} = 2.2 – 4 = 0\\{z_{M’}} = 2{z_H} – {z_M} = 2.0 – 2 = – 2\end{array} \right. \Rightarrow M’\left( { – 3;0; – 2} \right)\) SGK Toán 12»Nguyên Hàm - Tích Phân & Ứng Dụng»Bài Tập Bài 3: Ứng Dụng Của Tích Phân Tr...»Giải Bài Tập SGK Toán 12 Tập 1 Bài 8 Tra... Xem thêm Đề bài Bài 8 trang 91 SGK Hình học 12Cho điểm M(1; 4; 2) và mặt phẳng (α): x + y + z – 1 = 0 a)Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (α). b)Tìm tọa độ điểm M' đối xứng với M qua mặt phẳng (α). c)Tính khoảng cách từ M đến mp(α). Đáp án và lời giải
Phương trình tham số của là: . Xét phương trình . Vì H là giao điểm của và nên có tọa độ là . b) là điểm đối xứng của qua nên là trung điểm của . Do đó: . Vậy .
Tác giả: Trường THCS - THPT Nguyễn Khuyến - Tổ Toán Giải bài tập SGK Toán 12 Giải Tích Bài 5 Trang 121 Xem lại kiến thức bài học
Chuyên đề liên quan
Câu bài tập cùng bài
Bước 2: Gọi H = d ∩ ( P ) , tìm tọa độ điểm H. H chính là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (P).
Bộ giáo án, đề thi, bài giảng powerpoint, khóa học dành cho các thầy cô và học sinh lớp 12, đẩy đủ các bộ sách cánh diều, kết nối tri thức, chân trời sáng tạo tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official Bài 8 trang 91 - SGK Hình học 12 Cho điểm \(M(1 ; 4 ; 2)\) và mặt phẳng \((α): x + y + z -1 = 0\).
Giải:
Khi đó \(H\) chính là giao điểm của \(d\) và \((α)\). Vectơ \(\overrightarrow{n}(1 ; 1 ; 1)\) là vectơ pháp tuyến của \((α)\) nên \(\overrightarrow{n}\) là vectơ chỉ phương của \(d\). Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) có dạng: \(\left\{\begin{matrix} x=1+t & \\ y=4+t & \\ z=2+t & \end{matrix}\right.\). Thay tọa độ \(x ; y ; z\) của phương trình trên vào phương trình xác định \((α)\), ta có: \(3t + 6 = 0 => t = -2 => H(-1 ; 2 ; 0)\).
Ta có: \(\frac{x+1}{2}=-1 => x = -3\) ; \(\frac{y+4}{2}=2 => y = 0\) ; \(\frac{z+2}{2}=0 => z = -2\). Vậy \(M'(-3 ; 0 ;2)\).
Cách 1: \(d(M,(\alpha ))=\frac{|1+4+2-1|}{\sqrt{1+1+1}}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\). Cách 2: Khoảng cách từ M đến (α) chính là khoảng cách MH: \(d(M,(α) )= MH\) = \(\sqrt{2^{2}+2^{2}+2^{2}}=2\sqrt{3}\). Bài 9 trang 91 - SGK Hình học 12 Cho hai đường thẳng: \(d\): \(\left\{\begin{matrix} x=1-t & \\ y=2+2t & \\ z=3t& \end{matrix}\right.\) và \(d'\): \(\left\{\begin{matrix} x=1+t' & \\ y=3-2t' & \\ z=1& \end{matrix}\right.\). Chứng minh d và d' chéo nhau. Giải: Đường thẳng \(d\) qua điểm \(M(1 ; 2 ; 0)\) và có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}(-1 ; 2 ; 3)\). Đường thẳng \(d'\) qua điểm \(M'(1 ; 3 ;1)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u'}(1 ; -2 ; 0)\). Cách 1. Xét \(\left [\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'} \right ]=\left (\begin{vmatrix} 2 & 3\\ -2&0 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} 3 &-1 \\ 0&1 \end{vmatrix};\begin{vmatrix} -1 & 2\\ 1& -2 \end{vmatrix} \right )\) \(= (6 ; 3 ;0)\). \(\overrightarrow{MM'} = (0 ; 1 ; 1)\). Ta có : \(\left [\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'} \right ].\overrightarrow{MM'}= 6.0 + 3.1 + 0.1 = 3≠ 0\). Do đó d và d' chéo nhau. Bài 10 trang 91 - SGK Hình học 12. Giải bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ: Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(1\). Tính khoảng cách từ đỉnh \(A\) đến các mặt phẳng \((A'BD)\) và \((B'D'C)\). Giải  Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) sao cho \(A(0 ; 0 ; 0), B(1 ; 0 ; 0), D(0 ; 1; 0), A'(0 ; 0 ; 1)\) Khi đó \(B'(1 ; 0 ; 1), D'(0 ; 1 ; 1), C(1 ; 1 ; 0)\). Phương trình mặt phẳng \((A'BD)\) có dạng: \(x + y + z - 1 = 0\). (1) \(\overrightarrow{CB'}(0 ; -1 ; 1)\) ; \(\overrightarrow{CD'}(-1 ; 0 ; 1)\). Mặt phẳng \((B'D'C)\) qua điểm \(C\) và nhận \(\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{CB'},\overrightarrow{CD'} \right ] = (-1 ; -1 ; -1 )\) làm vectơ pháp tuyến. Phương trình mặt phẳng \((B'D'C)\) có dạng: |
