KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Đường trung bình của tam giác
a) Định nghĩa: Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác.
⇒ là đường trung bình của tam giác
b) Các định lý:
* Định lý 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ 3
* Định lý 2: Đường trung bình của hai tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy
2. Đường trung bình của hình thang
a) Định nghĩa: Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh bên
⇒ là đường trung bình của hình thang.
b) Các định lý:
* Định lý 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm của cạnh thứ hai.
* Định lý 2: Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của ba cạnh AB, AC và BC. Gọi I là giao điểm của AP và MN. Chứng minh IA = IP; IM = IN.
Bài giải:
Xét tam giác ABC có: M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC.
là đường trung bình của tam giác ABC.
hay (do I thuộc MN)
Do đó MI là đường trung bình của tam giác ABP.
là trung điểm của AP hay IA = IP và .
Tương tự NI cũng là đường trung bình của .
mà .
BÀI TẬP VẬN DỤNG
BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1: Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh AC sao cho . Gọi M là trung điểm của BC, I là giao điểm của BD và AM. Chứng minh rằng AI = IM.
Bài giải:
Gọi E là trung điểm của DC.
Trong tam giác BDC ta có: M là trung điểm của BC, E là trung điểm của CD
ME là đường trung bình của tam giác BCD.
ME // BD (tính chất đường trung bình của tam giác)
DI // ME.
Theo đề bài ta có , ta lại có .
Trong tam giác có là trung điểm của , , nằm trên
.
Bài 2: Cho hình thang () và
a) Chứng minh rằng là tia phân giác của .
b) Gọi lần lượt là trung điểm của . Chứng minh rằng thẳng hàng.
Bài giải:
a) Ta có nên cân tại B .
(so le trong)
Do đó là tia phân giác của .
b) ) M, E lần lượt là trung điểm của AD và AC nên ME là đường trung bình của .
(1)
Tương tự ta có NE là đường trung bình của (2)
Từ (1) và (2) ME và NE phải trùng nhau (tiên đề Ơ clit) hay ba điểm M, E, N thẳng hàng.
Chứng minh tương tự ta có M, F, E thẳng hàng. Vậy bốn điểm M, N, E, F thẳng hàng.
BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên các cạnh góc vuông AB, AC lấy D và E sao cho AD = AE. Qua D vẽ đường thẳng vuông góc với BE cắt BC ở K. Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với BE cắt BC ở H. Gọi M là giao điểm của DK và AC. Chứng minh rằng:
a)
b) cân.
c) .
Bài giải:
a) Xét và có:
AB = AC
Góc A chung
AE = AD
(c.g.c)
b) Ta có (đối đỉnh) (cùng phụ với và )
mà hay cân tại D.
Bài 2: Đường cao xuất phát từ đỉnh góc tù của một hình thang cân chia đáy lớn thành hai đoạn thẳng có đội dài và Tính độ dài trung bình của hình thang đó.
Bài giải:
– Xét hai tam giác vuông và ta có:
Vậy (cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra: .
Ta có:
cm
Suy ra: (do tính chất đoạn chắn)
– Gọi là đường trung bình của hình thang, ta có:
Vậy .
Xem thêm: Dựng hình bằng thước và compa. Dựng hình thang
Trên đây là các kiến thức cần nhớ và các bài tập ví dụ minh họa về nội dung của bài học Đường trung bình của tam giác, hình thang – toán cơ bản lớp X.
Chúc các em học tập hiệu quả!
| 
