§1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ TỪ 0° ĐÈN 180° A. KIẾN THỨC CĂN BÀN Định nghĩa: Với mỗi góc a (0° < a < 180°) ta xác định một điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho xOM = a và giả sử điểm M có tọa độ M(x0; y0). Khi đó ta định nghĩa: sin của góc a là y0, kí hiệu since = y0; côsin của góc a là Xo, kí hiệu cosa = x0; Các số since, cosa, tance, cota được gọi là các giá trị lượng giác của góc a. Tính chất sin (180° - a) = since ; cos(180° - ex)- -cosce tan(180° - a) = -tance; cot(180° - oe) = -cota 3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt '^a^rHượng^ĩac^'— 0° 30° 45° 60° 90° 180° sina 0 1 2 72 2 73 2 1 0 cosa 1 . 73 2 72 2 1 2 0 -1 tan a 0 1 73 1 73 II 0 cota II • 73 1 1 73 0 II GÓC giữa hai vectơ Định nghĩa: Cho hai vectơ a và b đều khác B vectơ õ. Từ một điểm o bất kì ta vẽ ÕA = a và OB = b. Góc AOB với số đo từ 0° đến A13 0 - . . -• ã* 180 được gọi là góc giữa hai vectơ a và b. o Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ a và b là (a, b). Nếu (a, b) = 90° thì ta nói rằng a và b vuông góc với nhau, kí hiệu là a i b hoặc b 1 a. B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có: sinA = sin(B + C); b) cosA = -COS(B + C). Vì A + B + c = 180° nên sinA = sin[180u- (B + C)J = sin(B + C) Vì A + B + c = 180° nên cosA = -cos[180°- (B + 0.1 = -cos(B + C) Vậy AK = asin2a <ỹủii OA b) COS 170° = -cos 10°: c) COS1220 = -COS580. Cho AOB là tam giác cân tại o có OA = a và có các đường cao OH vá AK. Giả sử AOH = a. Tính AK và OK theo a và a. Vậy OK = a.cos2a. Chứng minh rằng: sin105° = Sin75°; (ỷiẰi sin 105° = sin(180° - 75°) = sin75° COS1700 = cos(180° - 10°) = -coslO0 COS12211 = cos(180u - 58°) = -cos58° M^- y L a\ <0 o X 1. Chứng minh rằng với mọi góc ư (0° < a < 180°) ta đếu có cos2ct + sin2ci = 1. Giả sử M(x0; yo) nằm trên nửa đường tròn tâm o bán kính bằng 1. Theo định nghĩa giá trị lượng giác của góc a bất kì 0° < a < 180° ta có: COSGĨ = x0, sina = y0 mà x| + Vq = OM2 = 1 nên cos2a + sin2a = 1. 5. Cho góc X, với cosx = i . Tinh giá trị của biểu thức: p = 3sin2x + COS2X. <ỹidi Áp dụng công thức sin2x + COS2X = 1 Ta có: p = 3(1 - cos2x) + COS2X = 3 - 2coszx = 3-2 2„\ . „„„2„ _ o o„„„2„ _ Q ol1i_3_2 = 25 9 9 6. Cho hình vuông ABCD. Tinh: COS )aC,Ba), sin^AC.BD), COS^AB, cd) . tyừti Vẽ AE = BA ta có: cos(AC, BA) =cos(aC, As) = COS 135° = - Vì AC 1 BD nên sin(ÃC, Ẽ5) = sin90° = 1 cos(AB,CD) = cosl80° = -1. c. BÀI TẬP LÀM THÊM Cho cosx = —; tính 2sin2a + 3cos2a. 3 Chứng minh các đẳng thức sau: (since + cosa)2 = 1 + 2sinacosa; sin4a + cos4a = 1 - 2sin2acos2a; sin6a + cos6a = 1 - 3sin2acos2a; Cho tana = 2. Tính ~ ; 4sina + 5cosa 'ÍVuánạ dẫn: Chia tử và mẫu cho COS a . A = tan2 a + cot2 a; B = tan3 a + cot3 a ; c = tan4 a - cot4 a . Cho tan a -cot a = a, tính: 'ZVuvn? dẫn: Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ. Chứng minh rằng: a)tan2a =sin2a + sin2 a .tan2 a; .. 2. ._2. 1-tan2a b) cos a - sin a = -———=—; tana - sina c) 1 + tan a sin3 a cos a (1 +cos a) Cho tam giác ABC vuông tại A và B = 30°. Tính sin (AB, AC)+cos)BC, ba) + cos (ca, ba). TÍCH VÔ HIÍ0NG CỦA HAI VECTSf VÀ IÌNG DỤNG Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0° đến 180° Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu thêm một phép toán mới về vectơ, dó là phép nhân vô hướng của hai vectơ. Phép nhân này cho kết quà là một số, số đó gọi là tích vô hướng của hai vectơ. Để có thể xác định tích vô hướng của hai vectơ ta cần đến khái niệm giá trị lượng giác của một góc a bốt kì vối 0° < a < 180° là mở rộng của khái niệm tỉ số lượng giác của một góc nhọn O'đã biết ỏ lớp 9. §1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BAT kì TỪ 0° ĐẾN 180° 1 Tam giác ABC vuông tại A có góc nhọn ABC - a. Hãy nhắc lại định nghĩa các tỉ số lượng giác của góc nhọn a đã học ở lớp 9. Hình 2.1 ^2 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, nửa đường tròn tâm 0 nằm phía trên trục hoành bán kính R = 1 được gọi là nửa đường tròn đơn vị (h.2.2). Nếu cho trước một góc nhọn a thì ta có thể xác định một điểm A4 duy nhất trên nửa đường tròn đơn vị sao cho xO/W = a. Giả sử điểm M có toạ độ (x0; y0). Hình 2.2 Mở rộng khái niệm tỉ số lượng giác đối với góc nhọn cho những góc a bất kì với 0° < a < 180°, ta có định nghĩa sau đây : Định nghĩa Với mỗi góc a (0° < a < 180°) ta xác định một điểm M trên nửa đường tròn đơn vị (h.2.3) sao cho xOM = a và giả sử điểm M có toạ độ M(x0 ; y0). Khi đó ta định nghĩa: sin của góc Cố là y0, kí hiệu sin a - y0 ; côsin của góc cdà Xq, kí hiệu cos cz= x0; 7 x v yA . yQ tang của góc a là — (x0 0), kí hiệu tana= — ; • côtang của góc a là — (y0 * 0), kí hiệu cotcz = —. Các Số sina, cosa, tano, cotađược gọi là các giá trị lượng giác của góc a. Ví dụ. Tìm các giá trị lượng giác của góc 135°. Lấy điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho xOM = 135°. Khi đó ta có . /T Vậy sinl35u=-^—; cosl35°=-—7- 2 '2 (h.2.4). yOM = 45° . Từ đó ta suy ra toạ độ của điểm M là O = 7| 2 tanl35°=-l; cotl35° =-1. Chú ý.* Nếu alà góc tù thì coscz< 0, tanơ< 0, cotac 0. • tan a chỉ xác định khi a 90°, cotưchỉ xác định khi a 0° và a *180°. Tính chất Trên hình 2.5 ta có dây cung NM song song với trục Ox và nếu xOM - a thì xON = 180° - a. Ta có yM = yN = }>Q, XM = -XN = XQ . Do đó sina= sin (180° - à) cosa=-cos(180°- à) tana- - tan (ì 80° - à) cota= - cot (180° - 6Ộ. X Hình 2.5 3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt Giá trị lượng giác của các góc bất kì có thể tìm thấy trên bảng số hoặc trên máy tính bỏ túi. Sau đây là giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt mà chúng ta cần ghi nhớ. Bảng giá trị lượng giác của các góc dạc biệt Giá tr|\. a lượng giác 0° 30° 45° 60° o O Ch 180° sina 0 1 2 72 2 73 2 1 0 cosư 1 73 2 72 2 1 2 0 -1 tan a 0 1 7^ 1 73 II 0 cotứr II 73 1 1 73 0 II Trong bảng, kí hiệu " II " để chỉ giá trị lượng giác không xác định. Chú ý. Từ giá trị lượng giác của các góc đặc biệt đã cho trong bảng và tính chất trên, ta có thể suy ra giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt khác. Chẳng hạn : sin 120° = sin(l 80° - 60°) - sin 60° = y- Ư2 • COS1350 = cos(180°-45°) =-cos45° =- 2 • ^3 Tìm các giá trị lượng giác của các góc 120°, 150°. Góc giữa hai vectơ Định nghĩa Cho hai vectơ a và b đều khác vectợ 0 . Từ một điểm o hất kì ta vẽ OA = a yà OB = ĩ). Góc AOB với số đo từ 0° đến |ị 180° được gọi là góc giữa hai vectơ a và b .Ta kí hiệu góc I giữa hai vectơ a và b là (a , b) (h.2.6). Nếu (a , h )= 90“ thì ta nói rằng a và h vuông góc với nhau, kí hiệu là a 1 b II hoặc b la. Chú ý. Từ định nghĩa ta có () = (b , a). Hình 2.6 ■^4 Khi nào góc giữa hai vectơ bằng 0° ? Khi nào góc giữa hai vectơ bằng 180° ? Ví dụ. Cho tam giác ABC vuông tại A và có góc B = 50° (h.2.7). Khi đó : (BA, BC) = 50° , (AB, BC) = 130°, (CA, CB) = 40°, (AC, BC) = 40° , (AC, CB) = 140°, (AC, BA) = 90°. Sử dụng máy tính bỏ túi để tính giá trị lượng giác của một góc Ta có thể sử dụng các loại máy tính bỏ túi để tính giá trị lượng giác của một góc, chẳng hạn đối với máy CASIO fx - 500MS cách thực hiện như sau : Tính các giá trị lượng giác của góc a Sau khi mở máy ấn phím MODE nhiều lần để màn hình hiện lên dòng chữ ứng với các số sau đây : Deg Rad Gra 1 2 3 Sau đó ấn phím I 1 I để xác định đơn vị đo góc là "độ" và tính giá trị lượng giác của góc. • Tính sina, COS a và tana. Ví dụ 1-Tính sin 63° 52'41". Ấn liên tiếp các phím sau đây : sin 63 52 41 O’” Ta được kết quả là : sin 63° 52' 41" - 0, 897859012. Để tính cosa và tana ta cũng làm như trên, chỉ thay việc ấn phím bằng phím COS hay tan sin Xác định độ lớn của góc khi biết giá trị lượng giác của góc đó Sau khi mở máy và chọn đơn vị đo góc, để tính góc X khi biết các giá trị lượng giác của góc đó ta làm như ví dụ sau. Ví dụ 2. Tìm X biết siriA' = 0,3502. Ta ấn liên tiếp các phím sau đây : SHIFT sin 0.3502 Ẹ] SHIFT và được kết quả là : X- 20°29’58". Muốn tìm X khi biết cosx, tanx ta làm tương tự như trên, chỉ thay phím bằng phím COS tan sin Câu hỏi và bài tạp Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có : a) sin A = sin(B + C); b) cos A = -cos(B + C). Cho AOB là tam giác cân tại o có OA = ữ và có các đường cao OH và AK. Giả sử ẤỜH = a. Tính AK và OK theo a và a. Chứng minh rằng : sin 105° = sin 75° ; cosl70° = -COS 10° ; COSỈ220 = -cos58°. 4. 5. 6. Chứng minh rằng với mọi góc a (0° < a < 180°) ta đều có COS2 a + sin oc — 1. Cho góc X, với COS * = 3 • Tính giá trị của biểu thức : p = 3 sin ° X + COS2 X. Cho hình vuông ABCD. Tính : cos( AC, BA), sin( AC, BD ), cos( AB, CD).
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. Định nghĩa  Trong mặt phẳng tọa độ Oxy.Với mỗi góc α ( ≤ α ≤ ), ta xác định điểm M trên trên đường nửa đường tròn đơn vị tâm O sao cho α = . Giả sử điểm M có tọa độ (x; y). Khi đó: B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. DẠNG 1 : Xác định giá trị lượng giác của góc đặc biệt. Phương pháp giải. Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác của một góc Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản. DẠNG 2 : Chứng minh đẳng thức lượng giác, chứng minh biểu thức không phụ thuộc x, đơn giản biểu thức. Phương pháp giải. Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản Sử dụng tính chất của giá trị lượng giác Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ . DẠNG 3 : Xác định giá trị của một biểu thức lượng giác có điều kiện. Phương pháp giải. Dựa vào các hệ thức lượng giác cơ bản Dựa vào dấu của giá trị lượng giác Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. DẠNG 1 : Xác định giá trị lượng giác của góc đặc biệt. DẠNG 2 : Chứng minh đẳng thức lượng giác, chứng minh biểu thức không phụ thuộc x, đơn giản biểu thức. DẠNG 3 : Xác định giá trị của một biểu thức lượng giác có điều kiện. >> Tải về file PDF tại đây. >> Hướng dẫn giải chuyên đề tại đây. Xem thêm: – Tích của một vectơ với một số – Chuyên đề Hình học 10 – Tổng và hiệu hai vectơ – Chuyên đề đại số 10 Related |
