Bài tập toán cao cấp không gian vecto năm 2024

Đề tài THIẾT KẾ CHỈNH LƯU HÌNH TIA BA PHA - ĐỘNG CƠ ĐIỆN MỘT CHIỀU CÓ ĐẢO CHIỀU (download tai tailieutuoi

• ON TAP GK1 K12 - Đề ôn tập
• Baitapthuchanh Thongkemaytinhvaungdung
• Bai tap 3 - Đây là bài tập toán cao cấp tự luận, xin mời tham khảo

Preview text

CHƯƠNG 3

BÀI TẬP KHÔNG GIAN VÉCTƠ

Bài 1. Với các phép toán cộng hai phần tử và nhân một phần tử với một số trong Rn

1. E = {x = (x 1 , ..., xn) ∈ Rn : x 1 = x 2 = · · · = xn}

2. E = {x = (x 1 , ..., xn) ∈ Rn : x 1 + x 2 + · · · + xn = 0}

3. E = {x = (x 1 , ..., xn) ∈ Rn : x 1 = x 2 = 0}

4. E = {x = (x 1 , ..., xn) ∈ Rn : x 1 + x 20 }

Bài 2. Các tập nào sau đây là không gian tuyến tính trong Rn

1. E = {x = (x 1 , ..., xn) ∈ Rn : x 1 = x 2 = · · · = xn = 1}

2. E = {x = (x 1 , ..., xn) ∈ Rn : x 1 + x 2 = 1}

3. E = {x = (x 1 , ..., xn) ∈ Rn : x 1 > 0 }

4. E = {x = (x 1 , ..., xn) ∈ Rn : x 1 > 0 , x 2 > 0 , ..., xn > 0 }

Bài 3. Chứng tỏ rằng R 3 với phép toán sau không là không gian tuyến tính

1. (x, y, z) + (x′, y′, z′) = (x + x′ + 1, y + y′, z + z′), t(x, y, z) = (tx, ty, tz).

2. (x, y, z) + (x′, y′, z′) = (x + y′, y + z′, z + x′), t(x, y, z) = (tx, ty, tz).

3. (x, y, z) + (x′, y′, z′) = (x + x′ + 1, y + y′, z + z′), t(x, y, z) = (tx + 1, ty, tz).

Bài 4. Trong không gian tuyến tính V trên trường K cho hệ {a 1 , a 2 , ..., an}. Hệ độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính nếu.

1. Véctơ không θ ∈ {a 1 , a 2 , ..., an}

2. Trong hệ có hai véctơ bằng nhau.

3. a 1 = b 1 , a 2 = b 1 + b 2 , ..., an = b 1 + b 2 + · · · + bn, và hệ {b 1 , b 2 , ..., bn} độc lập tuyến tính.

4. a 1 = b 1 , ..., an− 1 = bn− 1 , an = bn− 1 + tbn, t ∈ K và hệ {b 1 , b 2 , ..., bn} độc lập tuyến tính.

Bài 5. Trong R 3 chứng tỏ rằng (6, 2 , 7) là tổ hợp tuyến tính của hệ các véctơ a 1 = (2, 1 , −3), a 2 = (3, 2 , −5), a 3 = (1, − 1 , 1).

Bài 6. Chứng tỏ rằng x = (7, 14 , − 1 , 2) là một tổ hợp tuyến tính của các véctơ sau: a 1 = (1, 2 , − 1 , −2), a 2 = (2, 3 , 0 , −1), a 3 = (1, 2 , 1 , 3), a 4 = (1, 3 , − 1 , 1).

Bài 7. Với bộ ba các véctơ sau, xác định xem trong những trường hợp nào chúng phụ thuộc tuyến tính, trường hợp nào chúng độc lập tuyến tính.

1. a 1 = (1, 2 , 1), a 2 = (2, 0 , −3), a 3 = (1, − 1 , 0) trên R 3.

2. a = 4 − 3 i, b = − 1 − i, c = 2 + i.

3. a = ex, b = cos x, c = sin x.

4. a = x − 1 , b = x 2 + 1, c = x 2 − 2 x + 1 trên không gian các đa thức.

5. a =

(

1 2

0 − 1

)

, b =

(

− 1 0

1 1

)

, c =

(

0 1

1 2

)

trên không gian các ma trận vuông

cấp 2.

Bài 8. Trong không gian R 3 cho hệ {x, y, z} độc lập tuyến tính. Tìm a để các véctơ sau phụ thuộc tuyến tính

1. u = ax + 4y + 2z; v = x + ay − z.

2. u = ax + y + 3z; v = ax − 2 y + z; w = x − y + z

Bài 9. Các hệ véctơ sau đây của Rn độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính.

1. u 1 = (3, 2 , 1), u 2 = (2, 1 , 6), u 3 = (1, 1 , 0).

2. u 1 = (1, 0 , 2 , 1), u 2 = (1, 3 , 1 , 2), u 3 = (1, 6 , 0 , 3).

3. u 1 = (1, 1 , 1 , 1), u 2 = (1, 2 , 3 , 4), u 3 = (1, 0 , 0 , −1), u 4 = (2, 1 , 1 , 0).

4. u 1 = (1, 2 , 1 , 2), u 2 = (0, 1 , 0 , 1), u 3 = (1, 0 , 1 , 0), u 4 = (0, 0 , 1 , 1).

2. Chứng tỏ rằng W và V cũng là cở của R 3.

3. Tìm ma trận của hệ I trong cơ sở W.

4. Cho x = (1, − 2 , 1) tìm tọa độ của x trong cơ sở W.

5. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ W sang cơ sở V.

6. Tìm ma trận của hệ W trong cơ sở V.

Bài 14. Trên cơ sở chính tắc của R 3 cho các véctơ x = (15, 3 , 1) và:

W = {a 1 = (2, 1 , 1), a 2 = (6, 2 , 0), a 3 = (7, 0 , 7)}

V = {b 1 = (0, 1 , 1), b 2 = (3, 2 , 0), b 3 = (1, 0 , 1)}

1. Chứng tỏ rằng W và V là cơ sở của R 3.

2. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ W sang V và ngược lại.

3. Tìm tọa độ của x trong cơ sở W và V.

Bài 15. Trên cơ sở chính tắc của R 4 cho véctơ x = (1, 2 , 1 , 2) và

W = {a 1 = (1, 1 , 1 , 1), a 2 = (1, 1 , − 1 , −1), a 3 = (1, − 1 , 1 , −1), a 4 = (1, − 1 , − 1 , 1)}

V = {b 1 = (1, 1 , 0 , 1), b 2 = (2, 1 , 3 , 1), b 3 = (1, 1 , 0 , 0), b 4 = (0, 1 , − 1 , −1)}

1. Chứng minh rằng W và V là cơ sở R 4.

2. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ W sang V và ngược lại.

3. Tìm tọa độ x đối với các cơ sở đó.

Bài 16. Tìm ma trận của các hệ véctơ sau trên P 3 (t)

1. a = 2 − t + t 2 + 2t 3 , b = 2t + t 2 − t 3 , c = 1 + 2t − t 2 − t 3 , d = 1 − t 2 + t 3

2. a = 1 − t + t 2 , b = t − t 2 + 2t 3 , c = 2t + t 3 , d = −1 + t − t 2 + t 3

Bài 17. Trong R 3 cho:

1. x 1 = (3, − 4 , 2), x 2 = (2, 3 , −1), y 1 = (0, − 17 , 7), y 2 = (11, − 9 , 5).

2. x 1 = (2, − 1 , 5), x 2 = (− 1 , 4 , −3), y 1 = (1, 3 , 8), y 2 = (4, 5 , 2). Chứng tỏ L{x 1 , x 2 } = L{y 1 , y 2 }.

Bài 18. Trong R 3 cho các véctơ

a = (1, − 1 , 0), b = (3, − 1 , 2), u = (1, 2 , 3), v = (2, − 1 , 1)

Tìm λ để u + λv ∈ L{a, b}.

Bài 19. Trong D 2 × 2 cho

a =

(

1 − 1

− 1 2

)

, b =

(

2 1

1 − 1

)

, c =

(

1 2

2 0

)

, d =

(

1 − 1

− 1 2

)

, d =

(

1 − 1

− 1 − 3

)

.

1. Tìm λ để u + λv ∈ L{a, b}.

2. Với λ = − 2 chứng tỏ hệ {a, b, u − 2 v} là cơ sở của D 2 × 2 tìm tọa độ của

x =

(

3 − 2

− 1 1

)

trên cơ sở đó.

Bài 20. Trong R 4 cho:

a 1 = (1, 0 , 0 , −1), a 2 = (2, 1 , 1 , 0), a 3 = (1, 1 , 1 , 1), a 4 = (1, 2 , 3 , 4), a 5 = (0, 1 , 2 , 3).

Tìm hạng của ma trận {a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 } và cơ sở của L{a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 }.

Bài 21. Trong R 5 cho:

a 1 = (1, 1 , 1 , 1 , 0), a 2 = (1, 1 , − 1 , − 1 , −1), a 3 = (2, 2 , 0 , 0 , −1), a 4 = (1, 1 , 5 , 5 , 2), a 5 = (1, − 1 , − 1 , 0 , 0).