- Khi điểm H là trục tâm của tam giác ABC: + Quan hệ giữa trực tậm và tam giác:
+ Quan hệ giữa các đáy với góc ở đỉnh và vị trí của trực tâm:
 - Ứng dụng:
Ví dụ 1: Cho $\Delta $ABC vuông cân tại B. Trên cạnh AB lấy điểm H, trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BD = BH. Chứng minh rằng: a) DH $\perp $ AC b) CH $\perp $ AD Hướng dẫn: a) $\Delta $ABC vuông cân tại B nên $\widehat{C}=45^{\circ}$ $\Delta $BDH có $\widehat{B}=90^{\circ}$ (theo giả thiết); BH = BD Do đó $\Delta $BDH vuông cân tại B, suy ra $\widehat{D}=45^{\circ}$ $\Delta $DIC có $\widehat{D}+\widehat{C}=45^{\circ}+45^{\circ}=90^{\circ}$ Vậy $\widehat{DIC}=90^{\circ}$ Do đó DH $\perp $ AC b) $\Delta $ADC có AB $\perp $ BC; DH $\perp $ AC Suy ra H là trực tâm của $\Delta $ADC, suy ra CH cũng là đường cao của tam giác. Do đó CH $\perp $ AD B. Bài tập và hướng dẫn giải
1. Cho $\Delta $ABC có góc A tù. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho CM = CA và lấy điểm N sao cho BN = BA. Đường phân giác của $\widehat{B}$ cắt AM tại E. Đường phân giác của $\widehat{C}$ cắt AN tại F. Chứng minh rằng đường phân giác của $\widehat{A}$ vuông góc với EF. 2. Cho $\Delta $ABC, đường cao AH. Trên tia đối của tia AH lấy điểm D sao cho AD = BC. Tại B kẻ đường thẳng BE $\perp $ AB và BE = AB (E và C thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau từ bờ là AB). Tại C kẻ đường thẳng CF $\perp $ AC và CF = AC (F và B thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là AC). Chứng minh rằng: a) DC = BF và DC $\perp $ BF b) Ba đường thẳng DH, BF và CE đồng quy 3. Cho $\Delta $ABC. Gọi H là trực tâm của $\Delta $ABC. Biết rằng AH = BC. Tính số đo của góc $\widehat{BAC}$ 4. Cho $\Delta $ABC. Các đường thẳng chứa tia phân giác của ba góc ngoài $\Delta $ABC cắt nhau tại E, F, P (E thuộc miền trong của góc $\widehat{A}$, F thuộc miền trong của góc $\widehat{B}$, P thuộc miền trong của góc $\widehat{C}$). Chứng minh rằng: a) Ba đường thẳng AE, BF, CP đồng quy tại H. b) Bốn điểm E, F, P, H cách đều ba đường thẳng AB, AC và BC c) H là trực tâm của $\Delta $EFP => Xem hướng dẫn giải Từ khóa tìm kiếm: giải toán lớp 7, các dạng toán lớp 7, phương pháp giải các dạng toán lớp 7, cách giải bài toán dạng Tính chất ba đường cao của tam giác Toán lớp 7 1. Cho $\Delta $ABC có góc A tù. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho CM = CA và lấy điểm N sao cho BN = BA. Đường phân giác của $\widehat{B}$ cắt AM tại E. Đường phân giác của $\widehat{C}$ cắt AN tại F. Chứng minh rằng đường phân giác của $\widehat{A}$ vuông góc với EF. 2. Cho $\Delta $ABC, đường cao AH. Trên tia đối của tia AH lấy điểm D sao cho AD = BC. Tại B kẻ đường thẳng BE $\perp $ AB và BE = AB (E và C thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau từ bờ là AB). Tại C kẻ đường thẳng CF $\perp $ AC và CF = AC (F và B thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là AC). Chứng minh rằng: a) DC = BF và DC $\perp $ BF b) Ba đường thẳng DH, BF và CE đồng quy 3. Cho $\Delta $ABC. Gọi H là trực tâm của $\Delta $ABC. Biết rằng AH = BC. Tính số đo của góc $\widehat{BAC}$ 4. Cho $\Delta $ABC. Các đường thẳng chứa tia phân giác của ba góc ngoài $\Delta $ABC cắt nhau tại E, F, P (E thuộc miền trong của góc $\widehat{A}$, F thuộc miền trong của góc $\widehat{B}$, P thuộc miền trong của góc $\widehat{C}$). Chứng minh rằng: a) Ba đường thẳng AE, BF, CP đồng quy tại H. b) Bốn điểm E, F, P, H cách đều ba đường thẳng AB, AC và BC c) H là trực tâm của $\Delta $EFP Xem lời giải
I. Các kiến thức cần nhớ 1. Định nghĩa Đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện gọi là đường cao của tam giác đó. Mỗi tam giác có ba đường cao. 2. Tính chất ba đường cao của tam giác Định lí: Ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó gọi là trực tâm của tam giác 3. Vẽ đường cao, trung tuyến, trung trực, phân giác của tam giác cân. Tính chất: Trong một tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy cũng đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao của tam giác đó. Nhận xét: Trong một tam giác, nếu có hai trong bốn loại đường (đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực, đường cao) trùng nhau thì tam giác đó là tam giác cân. 4. Đặc biệt đối với tam giác đều Hệ quả: Trong một tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh là bốn điểm trùng nhau. II. Các dạng toán thường gặp Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc Phương pháp: Sử dụng tính chất trực tâm của tam giác. Nếu \(H\) là giao điểm của hai đường cao kẻ từ \(B\) và \(C\) của \(\Delta ABC\) thì \(AH \bot BC.\) Dạng 2: Bài toán về đường cao với tam giác, tam giác cân, tam giác đều Phương pháp: - Sử dụng tính chất vuông góc của đường cao đối với cạnh đối diện - Sử dụng định lý “Trong một tam giác cân, đường cao ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến, đường trung trực của tam giác đó” để một trong các đường trung tuyến, phân giác, đường cao, đường trung trực ứng với cạnh đáy cũng là các đường còn lại. - Sử dụng nhận xét: Trong một tam giác, nếu có hai trong bốn loại đường (đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực, đường cao) trùng nhau thì tam giác đó là tam giác cân. Dạng 3: Chứng minh ba đường thẳng đồng quy Phương pháp: Nếu ba đường thẳng là ba đường cao của tam giác thì chúng cùng đi qua một điểm.
Với bộ Bài tập Tính chất ba đường cao của tam giác Toán lớp 7 chọn lọc, có đáp án sẽ giúp học sinh hệ thống lại kiến thức bài học và ôn luyện để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán lớp 7. Bài 1: Cho ΔABC, hai đường cao AM và BN cắt nhau tại H. Em hãy chọn phát biểu đúng: A. H là trọng tâm của ΔABC B. H là tâm đường tròn nội tiếp ΔABC C. CH là đường cao của ΔABC D. CH là đường trung trực của ΔABC
Vì hai đường cao AM và BN cắt nhau tại H nên CH là đường cao của ΔABC và H là trực tâm tam giác ΔABC nên A, B, D sai, C đúng. Chọn đáp án C Bài 2: Cho ΔABC cân tại A có AM là đường trung tuyến khi đó A. AM ⊥ BC B. AM là đường trung trực của BC C. AM là đường phân giác của góc BAC D. Cả A, B, C đều đúng
Vì ΔABC cân tại A có AM là đường trung tuyến nên AM cũng là đường cao, đường trung trực và đường phân giác của tam giác ABC Chọn đáp án D Bài 3: Cho ΔABC cân tại A, trung tuyến AM. Biết BC = 24cm, AM = 5cm. Tính độ dài các cạnh AB và AC A. AB = AC = 13cm B. AB = AC = 14cm C. AB = AC = 15cm D. AB = AC = 16cm
ΔABC cân tại A (gt) mà AM là trung tuyến nên AM cũng là đường cao của tam giác đó. Vì AM là trung tuyến của ΔABC nên M là trung điểm của BC Bài 4: Đường cao của tam giác đều cạnh a có bình phương độ dài là
Xét tam giác ABC đều cạnh AB = AC = BC = a có AM là đường trung tuyến suy ra AM cũng là đường cao của tam giác ABC hay AM ⊥ BC tại M Vậy bình phương độ dài đường cao của tam giác đều cạnh a là (3a2)/4 Chọn đáp án A Bài 5: Cho ΔABC nhọn, hai đường cao BD và CE. Trên tia đối của tia BD lấy điểm I sao cho BI = AC. Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho CK = AB. Chọn câu đúng A. AI > AK B. AI < AK C. AI = 2AK D. AI = AK
Chọn đáp án D Bài 6: Cho ΔABC nhọn, hai đường cao BD và CE. Trên tia đối của tia BD lấy điểm I sao cho BI = AC . Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho CK = AB. ΔAIK là tam giác gì? A. ΔAIK là tam giác cân tại B B. ΔAIK là tam giác vuông cân tại A C. ΔAIK là tam giác vuông D. ΔAIK là tam giác đều
Chọn đáp án B Bài 7: Cho tam giác ABC không cân. Khi đó trực tâm của tam giác ABC là giao điểm của: A. Ba đường trung tuyến B. Ba đường phân giác C. Ba đường trung trực D. Ba đường cao
Vì tam giác ABC là tam giác không cân nên trực tâm của tam giác ABC là giao điểm của ba đường cao. Chọn đáp án D Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy H thuộc AB, vẽ HE ⊥ BC ở E. Tia EH cắt tia CA tại D. Khi đó A. H là trọng tâm của tam giác BDC B. H là trực tâm của tam giác BDC C. H là giao ba đường trung trực của tam giác BDC D. H là giao ba đường phân giác của tam giác BDC
Trong tam giác BDC có: BA ⊥ CD tại A (do tam giác ABC vuông tại A) ⇒ BA là một đường cao của tam giác BDC DE ⊥ BC tại E (do HE ⊥ BC) ⊥ DE là một đường cao của tam giác BCD Mà DE ∩ BA = H Do đó H là giao điểm của hai đường cao trong tam giác BDC Suy ra H là giao điểm của ba đường cao trong tam giác BDC Vậy H là trực tâm của tam giác BDC. Chọn đáp án B Bài 9: Cho tam giác ABC vuông ở A có đường cao AD. Lấy H thuộc AD và E thuộc CD sao cho HE // AC Khi đó A. BH ⊥ AE B. BH // AE C. AE ⊥ AD D. BH ⊥ AD
+ Ta có: HE // AC; AC ⊥ AB (do tam giác ABC vuông tại A) Suy ra HE ⊥ AB (quan hệ từ vuông góc đến song song) Trong tam giác ABE có: AD ⊥ BE tại D nên AD là một đường cao của tam giác ABE HE ⊥ AB nên E, H thuộc một đường cao của tam giác ABE Mà H = HE ∩ AD Do đó H là giao của hai đường cao trong tam giác ABE Nên H là giao của ba đường cao trong tam giác ABE (ba đường cao của một tam giác đồng quy tại một điểm) Vậy H là trực tâm của tam giác ABE Suy ra BH ⊥ AE nên đáp án A đúng, đáp án B sai + Vì tia AD và tia AE đều nằm trong góc BAC, mà + Vì BH ⊥ AE mà AE ∩ AD = A nên BH không thể vuông góc với AD nên đáp án D sai. Chọn đáp án A Bài 10: Cho tam giác ABC có góc C^ = 45°, độ dài đường cao AH bằng 12cm và diện tích bằng 120cm2. Tính độ dài BH. A. 8cm B. 12cm C. 15cm D. 17cm
Chọn đáp án A |
