Cách chứng minh hình bình hành trong hình học không gian

Trong bài viết này, các em sẽ được cung cấp hai phần riêng biệt là lý thuyết và bài tập. Lý thuyết là các định nghĩa và tính chất về hình bình hành cũng như các dấu hiệu để nhận biết hình bình hành mà các em đã được học trên lớp, bổ sung thêm một vài kiến thức nâng cao để củng cố. Phần bài tập là các bài tập sách giáo khoa kèm theo hướng dẫn giải chi tiết giúp các em ôn luyện lại.

LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP HÌNH BÌNH HÀNH

A. Lý thuyết

1. Định nghĩa

Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song.

ABCD là hình bình hành">AB // CD và AD // BC.

Như vậy, hình bình hành là hình thang có hai cạnh bên song song.

2. Tính chất

Định lí:

Trong hình bình hành thì:

a) Các cạnh đối bằng nhau.

b) Các góc đối bằng nhau.

c) Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

3. Dấu hiệu nhận biết

• Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành.
• Tứ giác cócác cạnh đối bằng nhaulà hình bình hành.
• Tứ giác cóhai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.
• Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành
• Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.

B. BÀI TẬP

Bài 1.Các tứ giác ABCD, EFGH, MNPQ trên giấy kẻ ô vuông ở hình 71 có là hình bình hành hay không?

Lời giải:

Cả ba tứ giác là hình bình hành

- Tứ giác ABCD là hình bình hành vì có AB // CD và AB = CD = 3 (dấu hiệu nhận biết 3)

- Tứ giác EFGH là hình bình hành vì có EH // FG và EH = FH = 3 (dấu hiệu nhận biết 3)

- Tứ giác MNPQ là hình bình hành vì có MN = PQ và MQ = NP (dấu hiệu nhận biết 2)

(Chú ý:

- Với các tứ giác ABCD, EFGH còn có thể nhận biết là hình bình hành bằng dấu hiệu nhận biết 2.

- Với tứ giác MNPQ còn có thể nhận biết là hình bình hành bằng dấu hiệu nhận biết 5.)

Bài 2:Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC. Chứng minh rằng BE = DF

Lời giải:

Ta có:

DE = 1/2.AD; BF = 1/2.BC

Mà AD = BF (ABCD là hình bình hành)

=> DE = BF

Tứ giác BEDF có:

DE // BF (vì AD // BC)

DE = BF

Nên BEDF là hình bình hành suy ra BE = DF

Bài 3:Cho hình bình hành ABCD (AB > BC). Tia phân giác của góc D cắt AB ở E, tia phân giác của góc B cắt CD ở F.

a) Chứng minh rằng DE // BF

b) Tứ giác DEBF là hình gì? Vì sao?

Lời giải:

a)Ta có :

B^=D^">Bˆ=Dˆ(VìABCD">ABCDABCDlà hình hành) (1)

B1^=B2^=B2^">B1ˆ=B2ˆ(vìBF">BFBFlà tia phân giác gócB">BB) (2)

D1^=D2^=D^2">D1ˆ=D2ˆ(vìDE">DEDElà tia phân giác gócD">DD) (3)

Từ (1), (2), (3)D2^=B1^">D2ˆ=B1ˆ,mà hai góc này ở vị trí so le trong do đó:DE//BF">DE//BFDE//BF(*)

b) Tứ giác DEBF có:

DE // BF (chứng minh ở câu a)

BE // DF (vì AB // CD)

Nên theo định nghĩa DEBF là hình bình hành.

Bài 4:Các câu sau đúng hay sai?

a) Hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau là hình bình hành

b) Hình thang có hai cạnh bên song song là hình bình hành

c) Tứ giác có hai cạnh đối bằng nhau là hình bình hành

d) Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình bình hành

Lời giải:

a) Đúng, vì hình thang có hai đáy song song lại có thêm hai cạnh đáy bằng nhau nên là hình bình hành theo dấu hiệu nhận biết 5

b) Đúng, vì khi đó ta được tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành (định nghĩa)

c) Sai, vì hình thang cân có hai cạnh đối (hai cạnh bên) bằng nhau nhưng nó không phải là hình bình hành

d) Sai, vì hình thang cân có hai cạnh bên bằng nhau nhưng nó không phải là hình bình hành.

Bài 5:Cho hình 72. Trong đó ABCD là hình bình hành

a) Chứng minh rằng AHCK là hình bình hành

b) Gọi O là trung điểm của HK. Chứng minh rằng ba điểm A, O, C thẳng hàng.

Lời giải:

a) Hai tam giác vuông AHD và CKD có:

AD = CB (gt)

D1 =B1 (so le trong)

Nên AHD = CKB (cạnh huyền, góc nhọn)

Suy ra AH = CK

Tứ giác AHCK có AH // CK, AH = CK nên là hình bình hành,

b) Xét hìnhbìnhhành AHCK, trung điểm O của đường chéo của hìnhbìnhhành). Do đó ba điểm A, O, C thẳng hàng.

Bài 6:Tứ giác ABCD có E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?

Lời giải:

Tứ giác EFGH là hình-bình -hành.

Cách 1: EB = EA, FB = FC (gt)

nên EF là đường trung bình của ABC.

Do đó EF // AC

Tương tự HG là đường trung bình của ACD.

Do đó HG // AC

Suy ra EF // HG (1)

Tương tự EH // FG (2)

Từ (1) và (2) suy ra EFGH là hình -bình-hành (dấu hiêu nhận biết 1).

Cách 2: EF là đường trung bình của ABC nên EF = 1/2 AC.

HG là đường trung bình của ACD nên HG = 1/2 AC.

Suy ra EF = HG

Lại có EF // HG ( chứng minh trên)

Vậy EFGH là hình-bình-hành (dấu hiệu nhận biết 3).

Bài 7:Cho hình bình hành ABCD. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của CD, AB. Đường chéo BD cắt AI, CK theo thứ tự ở M và N. Chứng minh rằng:

a) AI // CK

b) DM = MN = NB

Lời giải:

a) Tứ giác ABCD có AB = CD, AD = BC nên là hình bình hành.

Tứ giác AICK có AK // IC, AK = IC nên là hình bình hành.

Do đó AI // CK

b) DCN có DI = IC, IM // CN.

(vì AI // CK) nên suy ra DM = MN

Chứng minh tương tự đối với ABM ta có MN = NB.

Vậy DM = MN = NB

Tất cả nội dung bài viết. Các em hãy xem thêm và tải file chi tiết dưới đây:

Tải về