Giả sử \(AC\) là đường chéo lớn của hình bình hành \(ABCD.\) Từ \(C\), vẽ đường vuông góc \(CE\) với đường thẳng \(AB\), đường vuông góc \(CF\) với đường thẳng \(AD\) (\(E,F \) thuộc phần kéo dài của các cạnh \(AB\) và \(AD\)). Chứng minh rằng: \(AB.AE + AD.AF = A{C^2}\). Đề bài Giả sử \(AC\) là đường chéo lớn của hình bình hành \(ABCD.\) Từ \(C\), vẽ đường vuông góc \(CE\) với đường thẳng \(AB\), đường vuông góc \(CF\) với đường thẳng \(AD\) (\(E,F \) thuộc phần kéo dài của các cạnh \(AB\) và \(AD\)). Chứng minh rằng: \(AB.AE + AD.AF = A{C^2}\). Phương pháp giải - Xem chi tiết Sử dụng: -Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng. - Hình bình hành có các cạnh đối song song và bằng nhau. Lời giải chi tiết  Dựng \(BG AC.\) Xét \( BGA\) và \( CEA\) có: +) \(\widehat {BGA} = \widehat {CEA} = 90^\circ \) +) \(\widehat A\) chung \( \Rightarrow BGA\) đồng dạng \( CEA \) (g.g) \( \displaystyle\Rightarrow {{AB} \over {AC}} = {{AG} \over {AE}}\) \(\RightarrowAB.AE = AC.AG\) (1) Vì \(AD//BC\) nên\(\widehat {BCG} = \widehat {CAF}\) (cặp góc so le trong) Xét \( BGC\) và \( CFA\) có: +) \(\widehat {BGC} = \widehat {CFA} = 90^\circ \) +) \(\widehat {BCG} = \widehat {CAF}\) (cmt) \(\Rightarrow BGC\) đồng dạng \( CFA\) (g.g) \( \displaystyle\Rightarrow {{AF} \over {CG}} = {{AC} \over {BC}}\) \(\Rightarrow BC.AF = AC.CG\) Mà \(BC = AD\) (vì \(ABCD\) là hình bình hành) \(\RightarrowAD.AF = AC.CG \) (2) Cộng từng vế của đẳng thức (1) và (2) ta có: \(AB.AE + AD.AF\)\(\, = AC.AG + AC.CG\) \( \Rightarrow AB.AE + AD.AF \)\(\,= AC\left( {AG + CG} \right)\) Lại có: \(AG + CG = AC\) nên \(AB.AE + AD.AF = A{C^2}\).
|
