Bài 93 trang 92 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình vẽ trong đó DE // AB, DF // AC.Chứng minh rằng điểm E đối xứng với điểm F qua điểm I. Lời giải: Ta có: DE //AB (gt) hay DE //AF DF //AC (gt) hay DF //AE Tứ giác AEDF là hình bình hành. I là trung điểm của AD nên EF đi qua trung điểm I là IE = IP (tính chất hình bình hành) Vậy E và F đối xứng qua tâm I. Bài 94 trang 92 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BM, CN. Gọi D là điểm đối xứng với B qua M, gọi E là điểm đối xứng Với C qua N. Chứng minh rằng điểm D đối xứng với điểm E qua điểm A. Lời giải: * Xét tứ giác ABCD, ta có: MA = MC (gt) MB = MD (định nghĩa đối xứng tâm) Suy ra: Tứ giác ABCD là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường) ⇒ AD // BC hay AD = BC (1) * Xét tứ giác ACBE, ta có: AN = NB (gt) NC = NE (định nghĩa đối xứng tâm) Suy ra: Tứ giác ACBE là hình bình hành (vì có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường) ⇒ AE // BC và AE = BC (2) Từ (1) và (2) suy ra: A, D, E thẳng hàng và AD = AE Nên A là trung điểm của DE hay điểm D đối xứng với điểm E qua điểm A. Bài 95 trang 92 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D thuộc cạnh BC. Gọi E là điểm đối xứng với D qua AB, gọi F là điểm đối xứng với D qua AC. Chứng minh rằng các điểm E và F đối xứng với nhau qua điểm A. Lời giải: * Vì E đối xứng với D qua AB ⇒ AB là đường trung trực của đoạn thẳng DE ⇒ AD = AE (tỉnh chất đường trung trực) Nên ΔADE cân tại A Suy ra: AB là đường phân giác của ∠(DAE) ⇒ ∠A1= ∠A2 * Vì F đối xứng với D qua AC ⇒ AC là đường trung trực của đoạn thẳng DF ⇒ AD = AF (tính chất đường trung trực) Nên ΔADF cân tại A Suy ra: AC là phân giác của ∠(DAF) ⇒ ∠A3 = ∠A4 ∠(EAF) = ∠(EAD) + ∠(DAF) = ∠A1 + ∠A2 + ∠A3 + ∠A4 = 2(∠A1 + ∠A3 ) = 2.90o = 180o ⇒ E, A, F thẳng hàng có AE = AF = AD Nên A là trung điểm của EF hay điểm E đối xứng với điểm F qua điểm A. Bài 96 trang 92 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Một đường thẳng đi qua O cắt các cạnh đối AD, BC ở E, F. Chứng minh E và F đối xứng với nhau qua điểm O. Lời giải: Xét ΔOED và ΔOFB, ta có: ∠(EOD)= ∠(FOB)(đối đỉnh) OD = OB (tính chất hình bình hành) ∠(ODE)= ∠(OBF)(so le trong) Do đó: ΔOED = ΔOFB (g.c.g) ⇒ OE = OF Vậy O là trung điểm của EF hay điểm E đối xứng với điểm F qua điểm O Bài 97 trang 92 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình bên, trong đó ABCD là hình bình hành. Chứng minh H và K đối xứng với nhau qua điểm O Lời giải: Xét hại tam giác vuông AHO và CKO, ta có: ∠(AHO)= ∠(CKO)= 90o OA = OC (tính chất hình bình hành) ∠(AOH)= ∠(COK)(đối đỉnh) Suy ra: ΔAHO = ΔCKO (cạnh huyền, góc nhọn) ⇒ OH = OK Vậy O là trung điểm của HK hay điểm H đối xứng với điểm K qua điểm O Bài 98 trang 92 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC. Gọi O là một điểm bất kỳ nằm trong tam giác ABC. Vẽ điểm M đối xứng với O qua D. Vẽ điểm N đối xứng với O qua E. Chứng minh rằng MNCB là hình bình hành. Lời giải: * Xét tứ giác AOBM, ta có: DA = DB (gt) DO = DM (định nghĩa đối xứng tâm) Suy ra: Tứ giác AOBM là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường) ⇒ BM // AO và BM = AO (1) * Xét tứ giác AOCN, ta có: EA = EC (gt) EO = EN (định nghĩa đối xứng tâm) Suy ra: Tứ giác AOBM là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường) ⇒ CN // AO và CN = AO (2) Từ (1) và (2) suy ra:BM // CN và BM = CN. Vậy tứ giác BMNC là hình bình hành (vì có 1 cặp cạnh đối song song và bằng nhau). Bài 99 trang 92 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giácABC, các đường trungtuyến AD, BE, CF cắt nhau tại G. Gọi H là điểm đối xứng với G qua D, I là điểm đối xứng với G qua E, K là điểm đối xứng với G qua F. Tìm các điểm đối xứng với A, với B, với C qua G. Lời giải: * Ta có: GD = DH (tính chất đối xứng tâm) ⇒ GH = 2GD (l) GA = 2GD (tính chất đường trung tuyến của tam giác) (2) Từ (1) và (2) suy ra: GA = GH Suy ra điểm đối xứng với điểm A qua tâm G là H. * Ta có: GE = EI (tính chất đối xứng tâm) ⇒ GI = 2GB (3) GB = 2GE (tính chất đường trung tuyên của tam giác) (4) Từ (3) và (4) suy ra: GB = GI Suy ra điểm đối xứng với điểm B qua tâm G là I. GF = FK (tỉnh chất đối xứng tâm) ⇒ GK = 2GF (5) GC = 2GF (tính chất đường trung tuyến của tam giác) (6) Từ (5) và (6) Suy ra: GC = GK Suy ra điểm đối xứng với điểm C qua tâm G là điểm K Bài 100 trang 92 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Qua O kẻ đường thẳng cắt đường thẳng cắt hai cạnh AB, CD ở E, F. Qua O vẽ đường thẳng cắt hai cạnh AD, BC ở G, H. Chứng minh rằng EGFH là hình bình hành. Lời giải: * Xét ΔOAE và ΔOCF, ta có: OA = OC (tính chất hình bình hành) ∠(AOE)= ∠(COF)(đối đỉnh) ∠(OAE)= ∠(OCF)(so le trong) Do đó: ΔOAE = ΔOCF (g.c.g) ⇒ OE = OF (l) * Xét ΔOAG và ΔOCH, ta có: OA = OC (tính chất hình bình hành) ∠(AOG) = ∠(COH)(dối đỉnh) ∠(OAG) = ∠(OCH)(so le trong). Do đó: ΔOAG = ΔOCH (g.c.g) ⇒ OG = OH (2) Từ (1) và (2) suy ra tứ giác EGFH là hình bình hành (vì có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường). Bài 101 trang 92 SBT Toán 8 Tập 1: Cho góc xOy, điểm A nằm trong góc đó. Vẽ điểm B đối xứng với A qua Ox, vẽ điểm G đối xứng với A qua Oy.
Lời giải:
⇒ OA = OB (tính chất đường trung trực) (1) Vì C đối xứng với A qua trục Ọy nên Oy là đườngtrung trực của đoạn AC. ⇒ OA = OC (tỉnh chất đường trung trực) (2) Từ (l) và (2) suy ra: OB = OC.
ΔOAB cân tại O có Ox là đường trung trực của AB nên Ox cũng là đường phân giác của ∠(AOB) ⇒ ∠O1 = ∠O3 ΔOAC cân tại O có Oy là đường trung trực của AC nên Oy cũng là đường phân giác của ∠(AOC) ⇒ ∠O2 = ∠O4 Vì B, O, C thẳng hàng nên: ∠O1 +∠O2 +∠O3 +∠O4 = 180o ⇒ 2 ∠O1 + 2 ∠O2 = 180o ⇒ ∠O1 +∠O2 = 90o ⇒ ∠(xOy) = 90o Vậy ∠(xOy) = 90o thì B đối xứng với C qua tâm O Bài 102 trang 92 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC có trực tâm H. Gọi M là trung điểm của BC, K là điểm đối xứng với H qua M. Tính số đo các góc ABK, ACK Lời giải: Ta có K là điểm đối xứng của H qua tâm M nên MK = MH Xét tứ giác BHCK, ta có: BM = MC (gt) MK = MH (chứng minh trên) Suy ra: Tứ giác BHCK là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường) Suy ra: KB // CH, KC // BH Ta có: CH ⊥ AB (gt) Suy ra: KB ⊥ AB nên ∠(KBA) = 90o Ta có: BH ⊥ AC (gt) Suy ra: CK ⊥ AC nên ∠(KCA) = 90o Bài 103 trang 92 SBT Toán 8 Tập 1: Trong các hình sau, hình nào có tâm đối xứng? Với các hình đó, hãy chỉ ra tâm đối xứng của hình. |
