chuong 2. phep dem from kikihoho Syrian national who cut a bloody path through the ranks in Afghanistan for the past decade before settling back here. cứu, câu lày trong ngữ cảnh quân đội đang làm 1 nhiệm vụ và trước câu này là nhắc tới 1 người, họ còn nói là "người của chúng ta" mang quốc tịch syrian, đến đoạn who cut a bloody path through làm em ko hiểu gì, cứu =))
3.1.1. Tích Đềcác của các tập hợpa Cặp thứ tự Ta biết rằng tập hợp gồm hai phần tử a và b được kí hiệu là {a, b}. Kí hiệu {b, a} cũng chỉ tập hợp đó, tức là {a, b} = {b, a}. Tuy nhiên trong nhiều trường hợp người ta quan tâm đến thứ tự của hai phần tử: a đứng trước, b đứng sau hay b đứng trước, a đứng sau. Khi đó người ta được hai dãy được sắp theo thứ tự khác nhau: Dãy a, b và dãy b, a. Đó là hai dãy khác nhau, trừ phi a = b. Mỗi dãy được gọi là một cặp thứ tự của hai phần tử. Như vậy, Dãy gồm hai đối tượng a và b, được sắp theo thứ tự a đứng trước, b đứng sau gọi là một cặp thứ tự, kí hiệu là a, b; a gọi là phần tử đứng trước, b là phần tử đứng sau. Nếu a ạ b thì a, b và b, a là hai cặp thứ tự khác nhau. Hai cặp thứ tự a, b và c, d là bằng nhau khi và chỉ khi a = b và c = d. Cặp thứ tự a, b được biểu diễn bởi một mũi tên đi từ phần tử đứng trước a đến phần tử đứng sau b. Hình 1 Nếu a = b thì mũi tên trở thành một vòng. Ví dụ 3.1 : Kết quả của một trận bóng đá là: 3; 1, 1; 3; 2; 0. Cặp thứ tự 3; 1 được hiểu là trên sân nhà, đội chủ nhà đã thắng đội khách: Đội chủ nhà đã ghi được 3 bàn còn đội khách chỉ ghi được 1 bàn. Cặp thứ tự 1; 3 cho biết đội chủ nhà đã thua đội khách: Trong trận đấu, đội chủ nhà chỉ ghi được 1 bàn, trong khi đội khách ghi được 3 bàn. Ví dụ 3.2 : Diện tích của các nước trên thế giới tính trên một ngàn km 2 cũng được ghi bằng các cặp thứ tự, chẳng hạn: Tây Ban Nha; 500, Italia; 300, Việt Nam, 330 Formatted: Heading03 Formatted: Heading04 Ví dụ 3.3 : Mỗi số phức là một cặp thứ tự a, b của hai số thực. Ta biết rằng hai số thực a và b khác nhau thì a, b và b, a là hai số phức khác nhau; Hai số phức a, b và c, d bằng nhau khi và chỉ khi chúng có phần thực bằng nhau và phần ảo bằng nhau, tức là a = c và b = d. b Tích Đêcác của hai tập hợp. Cho hai tập hợp X và Y. Tập hợp tất cả các cặp thứ tự x, y trong đó x ∈ X, y ∈ Y gọi là tích Đêcác của hai tập hợp X, Y và được kí hiệu là X x Y. Như vậy, X x Y = {x, y : x ∈ X, y ∈ Y}. Ví dụ 3.4: Cho hai tập hợp X = {x 1 , x 2 } và Y = {y 1 , y 2 , y 3 }. Khi đó X x Y = {x 1 , y 1 , x 1 , y 2 , x 1 , y 3 , x 2 , y 1 , x 2 , y 2 , x 2 , y 3 } Hình 2 Trong Hình 2 a, mỗi phần tử của X x Y được biểu diễn bởi một mũi tên đi từ tập hợp X vào tập hợp Y. Người ta gọi đó là lược đồ hình tên. Trong hình 2 b, các phần tử của X x Y được biểu diễn bởi các điểm của một lưới xác định bởi hai tập hợp X và Y. Người ta gọi đó là lược đồ Đêcác. Trong trường hợp tập hợp X hoặc tập hợp Y có vơ số phần tử, ta chỉ có thể sử dụng lược đồ Đêcác. Ví dụ 3.5 : Tích Đêcác của tập hợp N các số tự nhiên và tập hợp ⏐R các số thực là tập hợp. N x ⏐R = {x, y : x N, y ⏐R}. Trong mặt phẳng toạ độ, N x ⏐R được biểu diễn bởi tập hợp các điểm của các đường thẳng x = 0, x = 1, x = 2, ... Hình 3 Điểm 2; nằm trên đường thẳng x = 2, các điểm 3; và 4; −2,2, theo thứ tự, nằm trên các đường thẳng x = 3 và x = 4. Nếu Y = X thì tập hợp X x X còn được kí hiệu là X 2 . Như vậy, X 2 = {x, y : x ∈ X, y ∈ X}. Ví dụ 3.6 : Cho tập hợp X = {a, b}. Tìm tập hợp X 2 . Ta có: X 2 = {a, a, a, b, b, a, b, b}. Ví dụ 3.7 : Cho tập hợp X = [1,5; 4] = {x ∈ ⏐R = 1,5 ≤ x ≤ 4}. Tìm X 2 . Ta có: X 2 = [1,5; 4] x 1,5; 4] = {x, y : 1,5 x 4; 1,5 ≤ y ≤ 4}. Hình 4 Trong mặt phẳng toạ độ, tập hợp X 2 được biểu diễn bởi tập hợp các điểm của hình vng giới hạn bởi các đường thẳng x = 1,5, x = 4, y = 1,5 và y = 4 Hình 4. c Ta mở rộng định nghĩa tích Đêcác cho một số hữu hạn tập hợp. Cho m tập hợp X 1 , X 2 , ..., Xm. Tập hợp các dãy m phần tử x 1 , x 2 , ..., xm, trong đó x 1 ∈ X 1 , x 2 ∈ X 2 , ..., xn ∈ Xm gọi là tích Đêcác của m tập hợp X 1 , X 2 , ..., Xm và được kí hiệu là X 1 x X 2 x... x Xm. X1 x X2 x... x Xm = {x 1 , x 2 , ..., xm : x 1 ∈ X1, ... xm ∈ Xm}. Nếu X 1 = X 2 = ... = Xm thì tập hợp X 1 x X 2 x... x Xm được kí hiệu là Xm. Như vậy X là tập hợp các dãy m phần tử x 1 , x 2 , ..., xm, trong đó x1, ..., xm ∈ X. Ví dụ 3.8 : Tích Đêcác R 3 , trong đó R là tập hợp các số thực là không gian Ơclit ba chiều, tích Đêcác Rm là khơng gian Ơclit m chiều. Ví dụ 3.9 : Tìm các ước số của 4312. Ta có: 4312 = 2 2 x 7 2 x 11. Mọi ước số của 4312 có dạng 2 a x 7 b x 11 c , với a = 0, 1, 2 hoặc 3, b = 0, 1 hoặc 2, c = 0 hoặc 1. Đặt X = {2 , 2 1 , 2 2 , 2 3 }, Y = {7 , 7 1 , 7 2 }, C = {11 , 11 1 }. Khi đó, với mọi x, y, z ∈ X x Y x Z, tích xyz là một ước của 4312. 3.2. Định nghĩa quan hệ hai ngôi |
