\(\overrightarrow a = \left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ;\overrightarrow {{n_\beta }} } \right] \) \(= \left( {\left| \matrix{1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr4\,\,\,\,\,\, - 2 \hfill \cr} \right|;\,\left| \matrix{1\,\,\,\,\,\,\,\,2 \hfill \cr- 2\,\,\,\,\, - 1\, \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{2\,\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr- 1\,\,\,\,\,4 \hfill \cr} \right|} \right) \) \(= \left( { - 6;3;9} \right) = 3\left( { - 2;1;3} \right)\)
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Cho đường thẳng d và mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có phương trình: \(d:{{x - 2} \over 2} = {{y + 1} \over 3} = {{z - 1} \over 5}\) \(\left( \alpha \right):2x + y + z - 8 = 0\). LG a Tìm góc giữa d và \(\left( \alpha \right)\). Phương pháp giải: Công thức tính góc giữa đường thẳng và mp: \(\sin \varphi = {{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|} \over {\left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow n } \right|}} \) Lời giải chi tiết: Đường thẳng d có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2;3;5} \right)\), \(mp\left( \alpha \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {2;1;1} \right)\). Gọi \(\varphi \) là góc giữa d và \(\left( \alpha \right)\) thì \(0 \le \varphi \le {90^0}\) và \(\sin \varphi = {{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|} \over {\left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow n } \right|}} \) \(= {{\left| {2.2 + 3.1 + 5.1} \right|} \over {\sqrt {4 + 9 + 25} .\sqrt {4 + 1 + 1} }} = {6 \over {\sqrt {57} }}\). LG b Tìm tọa độ giao điểm của d và \(\left( \alpha \right)\). Phương pháp giải: Viết d dưới dạng tham số rồi xét hệ phương trình tọa độ giao điểm. Lời giải chi tiết: d có phương trình tham số \(\left\{ \matrix{ Thay x, y, z vào phương trình \(\left( \alpha \right)\)ta có: \(2\left( {2 + 2t} \right) + \left( { - 1 + 3t} \right) + \left( {1 + 5t} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow t = {1 \over 3}\) Ta được giao điểm \(M\left( {{8 \over 3};0;{8 \over 3}} \right)\). LG c Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên \(\left( \alpha \right)\). Lời giải chi tiết: Gọi \(\left( \beta \right)\)là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với \(\left( \alpha \right)\)thì hình chiếu d của d trên \(\left( \alpha \right)\) là giao tuyến của \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\). Vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_{(\beta )}}} \)của\(\left( \beta \right)\) vuông góc với cả \(\overrightarrow u \)và \(\overrightarrow n \)nên ta chọn \(\overrightarrow {{n_\beta }} = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow n } \right] = \left( { - 2;8; - 4} \right)\). Ngoài ra, \(\left( \beta \right)\) đi qua d nên cũng đi qua điểm \(A\left( {2; - 1;1} \right)\). Do đó \(\left( \beta \right)\) có phương trình: \(\overrightarrow a = \left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ;\overrightarrow {{n_\beta }} } \right] \) \(= \left( {\left| \matrix{ Vậy d có phương trình tham số là \(\left\{ \matrix{
|
