Bài tập sai số trong phương pháp tính

Chào các bạn

Khá rảnh sau khi thi xong và cũng muốn đổi gió giữa những bài post về lập trình nên mình muốn giới thiệu với các bạn tới chuỗi bài viết về Phương Pháp Tính (Computing Methods). Môn này là một trong những môn mà kì vừa rồi mình được học, và nhìn chung mình khá thích môn này.

Nội dung chính Show

1. Những khái niệm cơ bản
2. Biểu diễn số thập phân
3. Công thức tổng quát của sai số
4. Bài tập

Môn này thì nhìn chung là nghiên cứu để tìm ra nghiệm gần đúng của những bài toán mà ta rất khó thậm chí không thể giải chính xác. Nó giải các bài toán bằng những con số cụ thể. Nôm na là khi học toán ở trung học, ta có biểu thức rồi tính kết quả. Còn giờ ta có số liệu rồi đi tính kết quả.

Chuỗi bài viết này sẽ gồm các phần chính sau đây (mình không chắc sẽ có bao nhiêu bài, vì phần dài phần ngắn)

Phần I. Số gần đúng và sai số
Phần II. Phương trình phi tuyến
Phần II. Hệ phương trình tuyến tính
Phần IV. Nội suy và xấp xỉ hàm
Phần V. Đạo hàm và tích phân
Phần VI. Phương trình vi phân thường

Làm tròn số
Ở trường mình học thì bài thi buộc phải ghi đáp số tới chữ số thập phân thứ 4, và phải đảm bảo sai số nhỏ hơn 10^(-4). Cụ thể là như thế này

Đáp án: 1.2345 Được toàn bộ điểm: 1.2345 Được một nữa số điểm: 1.2346 hoặc 1.2344 Không được điểm nào: Những đáp án khác

Việc làm tròn số rất quan trọng, có 3 kiểu làm tròn chính là xuống, lên, và bình thường. Làm tròn kiểu bình thường thì ta đã được biết từ hồi học lớp 7 là trễ nhất (vì toán đại số 7 có dạy phần này). Nôm na sẽ là >= 5 thì lên, < 5 thì xuống.

Ví dụ

1.238 -> 1.24 1.235 -> 1.24 1.234 -> 1.23

Còn làm tròn xuống, được sử dụng khi làm tròn bất đẳng thức. Với (<= hoặc <) thì làm tròn lên, (>= hoặc >) thì làm tròn xuống
Ví dụ

a <= 1.236 -> a <= 1.24 a <= 1.234 -> a <= 1.24 a >= 1.236 -> a >= 1.23 a >= 1.234 -> a >= 1.23

Cách làm tròn như vậy sẽ giúp ta không mất nghiệm. Còn tại sao không mất nghiệm thì mình sẽ để các bạn tự ngẫm nghĩ

1. Những khái niệm cơ bản

Khi nhắc đến những bài toán thực tế, chúng ta luôn biết rằng rất khó để đảm bảo số liệu mà chúng ta làm việc là hoàn toàn chính xác vì rất nhiều lí do ảnh hưởng như dụng cụ, cách thức đo đạc,… . Vì thế nên khái niệm sai số được ra đời

Độ sai lệch giữa giá trị gần đúng và giá trị chính xác được gọi là sai số.

Số a được gọi là số gần đúng (approximate number) của số chính xác A, kí hiệu a ≈A (đọc là a xấp xỉ A) nếu a khác A không đáng kể và được dùng thay cho A trong tính toán.

Đại lượng Δ = |a - A| được gọi là sai số thật sự của số gần đúng a. Trong thực tế, do không biết số chính xác A, ta ước lượng một đại lượng Δ_a càng bé càng tốt thỏa điều kiện |A - a| <= Δ_a được gọi là sai số tuyệt đối (absolute error) của số gần đúng a

Những sai số thường là chúng ta không thể nào tính chính xác được, ta chỉ có thể lấy càng gần càng tốt nên thường ta sẽ thấy biểu thức sai_số thực sự <= sai_số_tính_toán Vậy nên khi làm tròn sai số ta làm tròn lên

và để cho đơn giản, từ giờ trở đi mình sẽ coi nó là đẳng thức luôn (nhưng khi làm tròn vẫn làm tròn lên)

Trong thực tế thì người ta sẽ kí hiệu

Ví dụ: Giả sử A = π; a = 3.14. Do 3.13 = 3.14 - 0.01 < π < 3.14 + 0.01 = 3.15 Nên ta có thể chọn Δ_a = 0.01 Mặt khác 3.138 = 3.14 - 0.002 < π < 3.14 + 0.002 = 3.142 Do đó ta cũng có thể chọn Δ_a = 0.002

Như vậy, với cùng một giá trị gần đúng, có thể có nhiều sai số tuyệt đối khác nhau

Sai số tương đối (relative error) của một số gần đúng a (a khác 0) so với số chính xác A được tính theo công thức

Ví dụ: Đo độ dài đoạn thẳng ta được a = 10 cm và b = 1 cm với Δ_a = Δ_b = 0.01 cm. Khi đó

Hay

Từ đó suy ra phép đo a chính xác hơn phép đo b mặc dù sai số tuyệt đối bằng nhau. Như vậy, độ chính xác của một phép đo thể hiện qua sai số tương đối.

2. Biểu diễn số thập phân

Mọi số thực a có thể được biểu diễn dưới dạng thập phân hữu hạn hoặc vô hạn

Ví dụ:

Gọi ã là số làm tròn của số gần đúng a. Sai số tuyệt đối của ã với A được đánh giá như sau

Ở trên sử dụng bất đẳng thức tam giác

Vậy nên khi làm tròn số, thì sai số tăng lên.Vì vậy, khi tính toán tránh làm tròn các phép tính trung gian, chỉ nên làm tròn kết quả cuối cùng.

Chữ số alpha_k (với k là số nguyên) trong phép biểu diễn dưới dạng thập phân được gọi là đáng tin nếu 2Δ_a <= 10^k. Trong trường hợp ngược lại, alpha_k gọi là không đáng tin Ví dụ: Số gần đúng a = 3.7284 với sai số tuyệt đối là Δ_a = 0.0047 có 3 chữ số đáng tin là 3, 7, 2.

Dòng thứ 3 là sử dụng làm tròn lên (lưu ý làm tròn lên số âm khác với làm tròn lên số dương, tương tự với làm tròn xuống). Dòng thứ 4 có được là do k là số nguyên

3. Công thức tổng quát của sai số

Xét hàm số u = f(x, y) x là giá trị gần đúng của số chính xác X. y là giá trị gần đúng của số chính xác Y. u = f(x,y) là giá trị gần đúng của giá trị chính xác U = f(X, Y) Khi đó sai số tuyệt đối u

Áp dụng công thức vi phân và sử dụng bất đẳng thức tam giác. Sai số tương đối u sẽ là

Tổng quát ta có cho hàm y = f(x_1, x_2, …, x_n)

Ví dụ: Tính sai số tuyệt đối và sai số tương đối của thể tích hình cầu biết bán kính R = 3.70 ± 0.05 cm và π = 3.14 ± 0.0016

4. Bài tập

Trong thực tế chúng ta thường xuyên sử dụng các phép đo như chiều cao hay khối lượng và trong các phép đo này đều có những sai số nhất định (có nhiều sản phẩm các em mua ở siêu thị đều có ghi thông tin sai số về khối lượng).

Vậy sai số tuyệt đối, sai số ngẫu nhiên là gì? cách xác định sai số tuyệt đối và sai số ngẫu nhiên trong các phép đo trực tiếp hay phép đo gian tiếp như thế nào? côn thức tính ra sao? chúng ta cùng đi tìm lời giải đáp qua bài viết dưới dây.

I. Phép đo các đại lượng vật lí. Hệ đơn vị SI

Bạn đang xem: Cách xác định sai số tuyệt đối, sai số ngẫu nhiên của phép đo trực tiếp, gián tiếp – Vật lý 10 bài 7

1. Phép đo các đại lượng vật lí

– Phép đo một đại lượng vật lí là phép so sánh nó với đại lượng cùng loại được quy ước làm đơn vị.

– Phép so sánh trực tiếp thông qua dụng cụ đo gọi là phép đo trực tiếp.

– Phép xác định một đại lượng vật lí thông qua một công thức liên hệ với các đại lượng đo trực tiếp gọi là phép đo gián tiếp.

2. Đơn vị đo

– Đơn vị đo thường được dùng trong hệ đơn vị SI.

– Hệ đơn vị SI là hệ thống các đơn vị đo các đại lượng vật lí đã được quy định thống nhất áp dụng tại nhiều nước trên thế giới.

– Hệ SI quy định 7 đơn vị cơ bản:

+ Độ dài: mét (m)

+ Nhiệt độ: kenvin (K)

+ Thời gian: giây (s)

+ Cường độ dòng điện: ampe (A)

+ Khối lượng: kilôgam (kg)

+ Cường độ sáng: canđêla (Cd)

+ Lượng chất: mol (mol)

II. Sai số phép đo

1. Các loại sai số

a) Sai số hệ thống

Là sự sai lệch do phần lẻ không đọc được sự chính xác trên dụng cụ (gọi là sai số dụng cụ ΔA’) hoặc điểm 0 ban đầu bị lệch.

Sai số dụng cụ ΔA’ thường lấy bằng nửa hoặc một độ chia trên dụng cụ.

b) Sai số ngẫu nhiên

Là sự sai lệch do hạn chế về khả năng giác quan của con người do chịu tác động của các yếu tố ngẫu nhiên bên ngoài.

2. Giá trị trung bình

• Giá trị trung bình khi đo nhiều lần nột đại lượng A được tính:

• Đây là giá trị gần đúng nhất với giá trị thực của đại lượng A.

3. Cách xác định sai số của phép đo

– Sai số tuyệt đối ứng với mỗi lần đo là trị tuyệt đối của hiệu giữa giá trị trung bình và giá trị của mỗi lần đo

– Sai số tuyệt đối trung bình của n lần đo gọi là sai số ngẫu nhiên và được tính:

– Sai số tuyệt đối của phép đo là tổng sai số ngẫu nhiên và sai số dụng cụ:

– Trong đó sai số dụng cụ

có thể lấy bằng nửa hoặc một độ chia nhỏ nhất trên dụng cụ.

4. Cách viết kết quả đo

Kết quả đo đại lượng A được viết dưới dạng:

trong đó

được lấy tối đa đến hai chữ số có nghĩa còn

được viết đến bậc thập phân tương ứng.

5. Sai số tỉ đối

Sai số tỉ đối δA của phép đo là tỉ số giữa sai số tuyệt đối và giá trị trung bình của đại lượng đo, tính bằng phần trăm:

6. Cách xác định sai số của phép đo gián tiếp

– Sai số tuyệt đối của một tổng hay hiệu thì bằng tổng các sai số tuyệt đối của các số hạng.

– Sai số tỉ đối của một tích hay thương thì bằng tổng sai số tỉ đối của các thừa số.

– Nếu trong công thức vật lí xác định các đại lượng đo gián tiếp có chứa các hằng số thì hằng số phải lấy đến phần thập phân lẻ nhỏ hơn 1/10 tổng các sai số có mặt trong cùng công thức tính.

– Nếu công thức xác định đại lượng đo gián tiếp tương đối phức tạp và các dụng cụ đo trực tiếp có độ chính xác tương đối cao thì có thể bỏ qua sai số dụng cụ.

III. Bài tập vận dụng sai số của phép đo

* Bài 1 trang 44 SGK Vật Lý 10: Dùng một đồng hồ đo thời gian có độ chia nhỏ nhất 0.001 s để đo n lần thời gian rơi tự do của một vật bắt đầu từ điểm A (vA = 0) đến điểm B, kết quả cho trong Bảng 7.1.

Hãy tính thời gian rơi trung bình, sai số ngẫu nhiên, sai số dụng cụ và sai số phép đo thời gian. Phép đo này là trực tiếp hay gián tiếp ? Nếu chỉ đo 3 lần (n = 3) thì kết quả đo bằng bao nhiêu?

* Lời giải bài 1 trang 44 SGK Vật Lý 10:

– Sai số ngẫu nhiên được xác định như sau:

– Trong đó:

– Sai số dụng cụ Δt’ thông thường có thể lấy bằng nửa hoặc một độ chia nhỏ nhất. Ở đây, qua giá trị trong bảng ta thấy phép đo thời gian có sai số dụng cụ với độ chia nhỏ nhất là 0,001s → Δt’ = 0,001s.

– Thời gian rơi trung bình là:

– Ta tính các Δti (i =1,..,7) như sau:

– Tính các giá trị còn lại ta được bảng sau:

n	t	∆ti	∆t’
1	0,398	0,006	0,001
2	0,399	0,005	0,001
3	0,408	0,004	0,001
4	0,410	0,006	0,001
5	0,406	0,002	0,001
6	0,405	0,001	0,001
7	0,402	0,002	0,001
Trung bình	0,404	0,004	0,001

⇒ Sai số ngẫu nhiên là:

– Sai số dụng cụ:

⇒ Sai số tuyệt đối của phép đo thời gian:

⇒ Kết quả phép đo được ghi như sau:

– Phép đo này là phép đo trực tiếp;

– Nếu chỉ đo 3 lần (n=3) thì sai số ngẫu nhiên không được tính theo cách lấy trung bình mà lấy giá trị lớn nhất Δtmax trong 3 lần đo.

Từ bảng số liệu ta lấy:

Khi đó, sai số phép đo thời gian là:

– Kết quả đo sẽ được ghi như sau:

* Bài 2 trang 44 SGK Vật Lý 10: Dùng một thước milimet đo 5 lần khoảng cách giữa s giữa 2 điểm A,B đều cho một giá trị như nhau bằng 798mm.Tính sai số phép đo này và viết kết qủa đo.

* Lời giải bài 2 trang 44 SGK Vật Lý 10:

– Từ giả thiết bài toán, ta lập bảng giá trị, ta được:

Lần đo	si (mm)	Δsi (mm)	Δs’ (mm)
1	798	0
2	798	0
3	798	0
4	798	0
5	798	0
Trung bình	798	0	1

– Như vậy, ta có:

– Sai số ngẫu nhiên:

– Sai số dụng cụ đo:

⇒ Sai số của phép đo:

⇒ Kết qủa đo:

* Bài 3 trang 44 SGK Vật Lý 10: Cho công thức tính vận tốc tại B: v = 2s/t và gia tốc rơi tự do: g = 2s/t2

Dựa vào các kết quả đo ở trên và các quy tắc tính sai số đại lượng đo gián tiếp, hãy tính v, g, Δv, Δg, δv, δg và viết các kết quả cuối cùng.

* Lời giải bài 3 trang 44 SGK Vật Lý 10:

– Áp dụng công thức tính sai số tỉ đối ta có:

Như vậy, qua bài viết cách xác định sai số tuyệt đối, sai số ngẫu nhiên của phép đo trực tiếp, gián tiếp ở trên các em cần ghi nhớ được các ý chính như sau:

¤ Phép đo trực tiếp là phép so sánh trực tiếp nhờ dụng cụ đo

¤ Phép đo gián tiếp là phép xác định một đại lượng vật lý thông qua một công thức liên hệ với các đại lượng đo trực tiếp.

¤ Giá trị trung bình khi đo nhiề lần một đại lượng A:

là giá trị gần đúng nhất với giá trị thực của đại lượng A.

¤ Công thức, cách tính sai số tuyệt đối của mỗi lần đo:

¤ Công thức, cách tính sai số ngẫu nhiên (là sai số tuyệt đối trung bình của n lần đo):

¤ Công thức, cách tính sai số tuyệt đối của phép đo (là tổng sai số ngẫu nhiên và sai số dụng cụ):

– Trong đó sai số dụng cụ

có thể lấy bằng nửa hoặc một độ chia nhỏ nhất trên dụng cụ.

¤ Kết quả đo đại lượng A được viết dưới dạng:

¤ Công thức, cách tính sai số tỉ đối:

¤ Sai số của phép đo gián tiếp được xác định theo các quy tắc: