Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức lớp 8 Show Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức là dạng bài tập thường xuất hiện trong các bài kiểm tra môn Toán lớp 8. Trong tài liệu dưới đây, VnDoc gửi tới các bạn lý thuyết và một số dạng toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức (biểu thức chứa dấu căn, biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối,...). Tài liệu giúp các em nắm được cách giải các dạng bài Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức. Sau đây mời các bạn tham khảo. A. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức1. Khái niệm - Nếu với mọi giá trị của biến thuộc một khoảng xác định nào đó mà giá trị của biểu thức A luôn luôn lớn hơn hoặc bằng (nhỏ hơn hoặc bằng) một hằng số k và tồn tại một giá trị của biến để A có giá trị bằng k thì k gọi là giá trị nhỏ nhất (giá trị lớn nhất) của biểu thức A ứng với các giá trị của biến thuộc khoảng xác định nói trên. 2. Phương pháp
+ Chứng minh A ≥ k với k là hằng số + Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra với giá trị nào đó của biến
+ Chứng minh A ≤ k với k là hằng số + Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra với giá trị nào đó của biến Kí hiệu: min A là giá trị nhỏ nhất của A; max A là giá trị lớn nhất của A B. Các bài tập tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thứcI. Dạng 1: Tam thức bậc haiPhương pháp: Đối với dạng tam thức bậc hai ta đưa biểu thức đã cho về dạng bình phương một tổng (hoặc hiệu) cộng (hoặc trừ) đi một số tự do. Tổng quát:
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B = 6 - 8x - x2 Lời giải Ta có: B = 6 - 8x - x2 = -(x2 + 8x) + 6 \= -(x2 + 8x + 16) + 6 + 16 \= -(x + 4)2 + 22 Vì (x +4)2 ≥ 0 ⇒ -(x +4)2 ≤ 0 ⇒ -(x +4)2 + 22 ≤ 22 Do đó, giá trị lớn nhất của biểu thức B là 22 Ví dụ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = 4x2 + 8x + 10 Lời giải C = 4x2 + 8x + 10 = (2x)2 + 2.2x.2 + 4 + 6 \= (2x + 2)2 + 6 Với mọi x ta có: (2x + 2)2 ≥ 0 ⇒ (2x + 2)2 + 6 ≥ 6 Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức C là 6 Ví dụ 3: a, Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 2x2 - 8x + 1 b, Tìm giá trị lớn nhất của B = -5x2 - 4x + 1 Lời giải: a, A = 2(x2 - 4x + 4) - 7 = 2(x - 2)2 - 7 ≥ -7 min A = -7 khi và chỉ khi x = 2 b, %20%2B%201%20%3D%20%20-%205%5Cleft(%20%7B%7Bx%5E2%7D%20-%202.x.%5Cfrac%7B2%7D%7B5%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B4%7D%7B%7B25%7D%7D%7D%20%5Cright)%20%2B%20%5Cfrac%7B9%7D%7B5%7D%20%3D%20%5Cfrac%7B9%7D%7B5%7D%20-%205%7B%5Cleft(%20%7Bx%20%2B%20%5Cfrac%7B2%7D%7B5%7D%7D%20%5Cright)%5E2%7D%20%5Cle%20%5Cfrac%7B9%7D%7B5%7D) max Ví dụ 4: Cho tam thức bậc hai P(x) = ax2 + bx + c a, Tìm min P nếu a > 0 b, Tìm max P nếu a < 0 Lời giải: Ta có %20%2B%20c%20%3D%20a%7B%5Cleft(%20%7Bx%20%2B%20%5Cfrac%7Bb%7D%7B%7B2a%7D%7D%7D%20%5Cright)%5E2%7D%20%2B%20%5Cleft(%20%7Bc%20-%20%5Cfrac%7B%7B%7Bb%5E2%7D%7D%7D%7B%7B4a%7D%7D%7D%20%5Cright)) Đặt . Do %5E2%7D%20%5Cge%200)nên: a, Nếu a > 0 thì %5E2%7D%20%5Cge%200)do đó P ≥ k ⇒ min P = k b, Nếu a < 0 thì %5E2%7D%20%5Cle%200)do đó P ≤ k ⇒ max P = k ⇒ Bài tập vận dụng Bài tập: Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của các biểu thức dưới đây: a, A = -x2 + x + 1b, B = x2 + 3x + 4c, C = x2 - 11x + 30d, D = x2 - 2x + 5e, E = 3x2 - 6x + 4f, F = -3x2 - 12x - 25 II. Dạng 2: Đa thức có dấu giá trị tuyệt đốiPhương pháp: Có hai cách để giải bài toán này: Cách 1: Dựa vào tính chất |x| ≥ 0. Ta biến đổi biểu thức A đã cho về dạng A ≥ a (với a là số đã biết) để suy ra giá trị nhỏ nhất của A là a hoặc biến đổi về dạng A ≤ b (với b là số đã biết) từ đó suy ra giá trị lớn nhất của A là b. Cách 2: Dựa vào biểu thức chứa hai hạng tử là hai biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối. Ta sẽ sử dụng tính chất: ∀x, y ∈ ta có: Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
Lời giải: a, %5E2%7D%20-%204%5Cleft%7C%20%7B3x%20-%201%7D%20%5Cright%7C%20%2B%205) Đặt %5E2%7D%20%2B%201%20%5Cge%201) min A = 1 b, %5Cleft(%20%7B3%20-%20x%7D%20%5Cright)%20%5Cge%200%20%5CLeftrightarrow%202%20%5Cle%20x%20%5Cle%203) Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của C = |x2 - x + 1| + |x2 - x - 2| Hướng dẫn giải Ta có: C = |x2 - x + 1| + |x2 - x - 2| ≥ |x2 - x + 1 + 2 + x - x2| = 3 MinC = 3 ⇔ (x2 - x + 1)(2 + x - x2) ≥ 0 ⇔ (x + 1)(x - 2) ≤ 0 ⇔ -1 ≤ x ≤ 2 Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của T = |x - 1| + |x - 2| + |x - 3| + |x - 4| Hướng dẫn giải Ta có |x - 1| + |x - 4| ≥ |x - 1 + 4 - x| = 3 (1) Và |x - 2| + |x - 3| ≥ |x - 2 +3 - x| = 1(2) Vậy T ≥ 1 + 3 = 4 Từ (1) suy ra dấu bằng xảy ra khi 1 ≤ x ≤ 4 Từ (2) suy ra dấu bằng xảy ra khi 2 ≤ x ≤ 3 Vậy T có giá trị nhỏ nhất bằng 4 khi 2 ≤ x ≤ 3 Bài tập vận dụng: Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của các biểu thức dưới đây: A = |x - 2004| + |x - 2005| B = |x - 2| + |x - 9| + 1945 C = -|x - 7| - |y + 13| + 1945 III. Dạng 3: Đa thức bậc cao
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức sau:
Lời giải: a, A = x(x - 3)(x - 4)(x - 7) = (x2 - 7x)(x2 - 7x + 12) Đặt y = x2 - 7x + 6 thì A = (y - 6)(y + 6) = y2 - 36 ≥ -36 Min%5Cleft(%20%7Bx%20-%206%7D%20%5Cright)%20%3D%200%20%5CLeftrightarrow%20%5Cleft%5B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0Ax%20%3D%201%5C%5C%0Ax%20%3D%206%0A%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright.) b, B = 2x2 + y2 - 2xy - 2x + 3 = (x2 - 2xy + y2) + (x2 - 2x + 1) + 2 %5E2%7D%20%2B%20%7B%5Cleft(%20%7Bx%20-%201%7D%20%5Cright)%5E2%7D%20%2B%202%20%5Cge%202%20%5CLeftrightarrow%20%5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0Ax%20-%20y%20%3D%200%5C%5C%0Ax%20-%201%20%3D%200%0A%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright.%20%5CLeftrightarrow%20x%20%3D%20y%20%3D%201) c, C = x2 + xy + y2 - 3x - 3 = x2 - 2x + y2 - 2y + xy - x - y Ta có %20%2B%20%5Cleft(%20%7B%7By%5E2%7D%20-%202y%20%2B%201%7D%20%5Cright)%20%2B%20%5Cleft(%20%7Bxy%20-%20x%20-%20y%20%2B%201%7D%20%5Cright)) %5E2%7D%20%2B%20%7B%5Cleft(%20%7By%20-%201%7D%20%5Cright)%5E2%7D%20%2B%20%5Cleft(%20%7Bx%20-%201%7D%20%5Cright)%5Cleft(%20%7By%20-%201%7D%20%5Cright)) Đặt thì %20%2B%20%5Cfrac%7B%7B3%7Bb%5E2%7D%7D%7D%7B4%7D%20%3D%20%7B%5Cleft(%20%7Ba%20%2B%20%5Cfrac%7Bb%7D%7B2%7D%7D%20%5Cright)%5E2%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B%7B3%7Bb%5E2%7D%7D%7D%7B4%7D%20%5Cge%200) Vậy Min(C + 3) = 0 hay min C = -3⇔ a = b = 0 ⇔ x = y = 1 C. Bài tập vận dụng1. Bài tập trắc nghiệm Câu 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B = 10 - x2 A.0 B.10 C. -10 D. 9 Đáp án Ta có:  Do đó, giá trị lớn nhất của biểu thức B là 10 Chọn B. Câu 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 4x - 2x2 A.0
Đáp án Ta có; A = 4x - 2x2 = -2(x2 - 2x) \= -2(x2 - 2x + 1) + 2 = -2(x - 1)2 + 2 Vì Do đó, giá trị lớn nhất của biểu thức A là 2. Chọn D. Câu 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C = 4x + 3 - x2 A.7
Đáp án Ta có: Vì Do đó, giá trị lớn nhất của C là 7. Chọn A. Câu 4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức D = -x2 + 6x - 11 A.-11 B. 6 C. -2 D. 9 Đáp án D = -x2 + 6x - 11 = -(x2 - 6x) - 11 \= -(x2 - 6x + 9) + 9 - 11 \= -(x - 3)2 - 2 Vì Giá trị lớn nhất của biểu thức D là – 2 Chọn C Câu 5. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức E = 4x - x2 + 1 A.1 B. 5 C. 3 D. 6 Đáp án Ta có: E = 4x - x2 + 1 = -(x2 - 4x) + 1 \= -(x2 - 4x + 4) + 4 + 1 \= -(x - 2)2 + 5 Vì Do đó, giá trị lớn nhất của biểu thức E là 5. Chọn B. Câu 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2x2 + 8x + 11 A.3 B. 8 C. 11 D. 9 Đáp án Ta có: A = 2x2 + 8x + 11 = 2(x2 + 4x) + 11 \= 2(x2 + 4x + 4) - 8 + 11 \= 2(x + 2)2 + 3 Vì Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 3 Chọn A. Câu 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức E = x2 - 2x + y2 + 4y + 10 A.1 B. 10 C. 5 D. 8 Đáp án Ta có: E = x2 - 2x + y2 + 4y + 10 \= (x2 - 2x + 1) + (y2 + 4y + 4) + 5 \= (x - 1)2 + (y + 2)2 + 5 Vì Do đó, giá trị nhỏ nhất của E là 5. Chọn C. Câu 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức D = 4x2 + y2 + 6y + 20
Đáp án Ta có; D = 4x2 + y2 + 6y + 20 = 4x2 + (y2 + 6y + 9) + 11 \= 4x2 + (y + 3)2 + 11 Vì: Suy ra: Vậy giá trị nhỏ nhất của D là 11 Chọn B. Câu 9. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức G = x2 + 5y2 - 4xy - 8y + 28 A.10 B. 8 C. 20 D. 15 Đáp án Ta có: G = x2 + 5y2 - 4xy - 8y + 28 G = (x2 - 4xy + 4y2) + (y2 - 8y + 16) + 8 \= (x - 2y)2 + (y - 4)2 + 8 Vì Suy ra: Vậy giá trị nhỏ nhất của G là 8. Chọn B. 2. Bài tập tự luận: Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a, b, c, d, %5Cleft(%20%7B%7Bx%5E2%7D%20%2B%20x%20-%204%7D%20%5Cright)) Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: ---- D. Bộ đề thi giữa kì 1 lớp 8 sách mới:
Toán 8 từ năm học 2023 - 2024 trở đi sẽ được giảng dạy theo 3 bộ sách: Chân trời sáng tạo; Kết nối tri thức với cuộc sống và Cánh diều. Việc lựa chọn giảng dạy bộ sách nào sẽ tùy thuộc vào các trường. Để giúp các thầy cô và các em học sinh làm quen với từng bộ sách mới, VnDoc sẽ cung cấp lời giải bài tập sách giáo khoa, sách bài tập, trắc nghiệm toán từng bài và các tài liệu giảng dạy, học tập khác. Mời các bạn tham khảo qua đường link bên dưới: |
