Cách tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn cực hay
Show Trang trước Trang sau Quảng cáo
Tổng của CSN lùi vô hạn Cấp số nhân vô hạn u1, u2, u3,..un,..có công bội q, với |q| < 1 gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Tổng S của cấp số nhân đó là: Bài 1: Tìm tổng của cấp số nhân vô hạn sau: Hướng dẫn: Đây là tổng của cấp số nhân vô hạn có  Bài 2: Tìm tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (un) biết un = 1/(3n) Hướng dẫn: Vì Quảng cáo
Bài 3: Tìm tổng của cấp số nhân vô hạn: Hướng dẫn: Vì các số của tổng lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với u1 = 1, q = -1/2 Vậy Bài 4: Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có tổng bằng 3 và công bội q = 2/3 Hướng dẫn: Bài 5: Tìm tổng của dãy số sau: Hướng dẫn: Vì vậy các số của tổng lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với u1 = -1, q = -1/10 Vậy Bài 6: Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là 5/3 tổng ba số hạng đầu tiên của nó là 39/25. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số đó. Hướng dẫn: Ta có Quảng cáo
Bài 7: Cho dãy số (un) với Hướng dẫn: Vì un là tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có u1 = 1/2 và q = (-1)/2. Bài 1: Tổng của cấp số nhân vô hạn:
Đáp án: B Vì un là tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có u1 = (-1)/2 và q = (-1)/2. Chọn đáp án B Bài 2: Tổng của cấp số nhân vô hạn:
Đáp án: A Vì un là tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có u1 = 1/3 và q = (-1)/3. Chọn đáp án A Bài 3: Tổng của cấp số nhân vô hạn
Đáp án: A Vì un là tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có u1 = 2 và q = (-1)/2. Chọn đáp án A
Bài 4: Tổng của cấp số nhân vô hạn
Đáp án: C Vì un là tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có u1 = 3 và q = (-1)/3. Chọn đáp án C Bài 5: Tổng của cấp số nhân vô hạn:
Đáp án: A Vì un là tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có u1 = (-1)/4 và q = (-1)/4. Chọn đáp án A Bài 6: Kết quả nào sau đây là đúng: A. Cấp số nhân lùi vô hạn (un) có công bội q thì tổng B. Cấp số nhân lùi vô hạn (un) có C. Cấp số nhân lùi vô hạn (un) có D. Cấp số nhân lùi vô hạn (un) có
Đáp án: C Vì q = (3/4) < 1 đây là cấp số nhân lùi vô hạn nên Chọn C Bài 7: Cấp số nhân lùi vô hạn (un) có u1 = -50, S = 100. Tìm 5 số hạng đầu tiên của dãy: A. 50; 25; 12,5; 6,5; 3,25 B. 50; 25,5; 12,5; 6,25; 3,125 C. 50; 25; 12,5; 6,25; 3,125 D. 50; 25; 12,25; 6,125; 3,0625
Đáp án: C Áp dụng công thức : Suy ra 5 số hạng đầu tiên của dãy số: 50; 25; 12,5; 6,25; 3,125 Chọn C Bài 8: Cấp số nhân lùi vô hạn (un) có u1 = -1, q = x. Tìm tổng S và 3 số hạng đầu của cấp số này: A. B. và -1, x, x2 C. D. và -1, x, -x2
Đáp án: C Chọn C Bài 9: Cấp số nhân lùi vô hạn (un) có u1 = -x, q = x2. Tìm tổng S và 3 số hạng đầu của cấp số này: A. B. và -x, x3, x4 C. D. và -x, -x3, -x6
Đáp án: D Chọn D Bài 10: Tìm tổng của cấp số nhân vô hạn sau:
Đáp án: D Vì un là tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có u1 = 5 và q = 1/√5. Chọn đáp án D Bài 11: Tìm tổng của cấp số nhân vô hạn sau: -3; 0,3; -0,03; 0,003;...
Đáp án: A Vì un là tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có u1 = -3 và q = 0,1 Chọn đáp án A Bài 12: Tìm tổng A. 4 + 2√2 B. 4 - 2√2 C. -4 + 2√2 D. -4 + 2√2
Đáp án: B Vì un là tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có u1 = 2 và q = 1/√2 Chọn đáp án B Bài 13: Cho cấp số nhân lùi vô hạn sau:
Đáp án: A Vì un là tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân nên q = (1/4) Chọn đáp án A Bài 14: Tìm tổng của dãy số sau:
Đáp án: D Vì vậy các số của tổng lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với u1 = -1, q = (-1)/10 Chọn đáp án D Bài 15: Cho dãy số (un) với
Đáp án: C Vì un là tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có u1 = 1/2 và q = (-1)/2. Chọn đáp án C Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube Tôi
Trang trước Trang sau Hướng dẫn Giải toán bằng máy tính Casio Fx 570 MS
Chuyên đề 11 : DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN 1. Dạng toán về dãy số : Phương pháp: Để thực hiện những đòi hỏi của bài toán về dãy số chúng ta có thể chọn lựa hai cách sau : Cách 1: Dựa theo công thức của dãy số . Cách 2 : Dựa theo phương pháp lặp, cụ thể chúng ta biết rằng : Sn = Sn-1 + un và Pn = Pn-1 . un Từ đó dẫn tới việc sử dụng 4 biến ( tối thiểu ) A, B, C, D của máy tính để gán cho : D = 0 - khởi tạo biến đếm ( để biết chúng ta đang xét tới uA ) A = 0 - khởi tạo giá trị của uA B = 0 - khởi tạo giá trị của tổng A số hạng đầu tiên . C = 1 - khởi tạo giá trị của tích A số hạng đầu tiên . Nhận xét:Cách 2 luôn tỏ ra hiệu quả với những yêu cầu tính tổng , tích của n số hạng đầu tiên của dãy số .
Bạn đang xem nội dung tài liệu Hướng dẫn Giải toán bằng máy tính Casio Fx 570 MS, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên . Cho dãy số ( un ) với un = 3. 22n-1 . a). Viết 6 số hạng đầu của dãy . b). Tìm xem 393216 là số hạng thứ mấy của dãy số ? 11). Cho dãy số ( un ) với . Viết 8 số hạng đầu của dãy rồi tính tổng S8 và tích P8 của 8 số hạng đó . 12). Cho dãy số ( un ) thỏa mãn : Viết 9 số hạng đầu của dãy rồi tính tổng S9 và tích P9 của 9 số hạng đó . 13). Cho dãy số ( un ) thỏa mãn : Viết 8 số hạng đầu của dãy rồi tính tổng S8 và tích P8 của 8 số hạng đó . 14). Cho dãy số , n ³ 1 a). Hãy lập quy trình bấm phím để tính xn+1 với x1 = 1 sau đó tính x50 . b). Hãy lập quy trình bấm phím để tính xn+1 với x1 =-1 sau đó tính x50 . 2. Dạng toán về cấp số cộng : ¸ a1, a2, a3 , ... , an Công sai : an+1 - an = d Số hạng thứ n : an = a1 + d ( n - 1 ) Tổng n số hạng đầu : ( d > 0 : cấp số tiến ; d < 0 : cấp số lùi ) BÀI TẬP ÁP DỤNG 1). Cho cấp số cộng ( un ) thỏa mãn u2 - u3 + u5 = 10 và u1+u6 = 17 a). Tìm số hạng đầu tiên và công sai . b). Tính tổng số của 20 số hạng đầu tiên . c). Tính tổng S' = u5 + u6 + .... + u24 . 2). Tính tổng sau : S = 105 + 110 + 115 + . .. + 995 3). Tính tổng sau : S = 1002 - 992 + 982 - 972 + . . . + 22 - 12 . 4). Cho cấp số cộng : + 1 , 2 , 3 - , . . . Không dùng công thức , hãy sử dụng máy tính fx - 570 để tính gần đúng . a). Số hạng thứ 6 của cấp số . b. Tổng S6 và tích P6 của 6 số hạng đầu tiên của cấp số . 5). Cho cấp số cộng ( un ) thỏa mãn u2 - u3 + u5 = 10 và u4+u6 = 26 a). Tìm số hạng đầu tiên và công sai . b). Tính tổng số của 20 số hạng đầu tiên . c). Tính tổng S' = u4 + u6 + .... + u44 . 6). Tính tổng sau : S = 55 + 60 + 65 + . .. + 855 7). Tính tổng sau : S = 999 + 996 + 993 + . .. + 3 8). Tính tổng sau : S = 2002 - 1992 + 1982 - 1972 + . . . + 22 - 12 . 9). Cho cấp số cộng : + 3 , 2 , 7 - , . . . Không dùng công thức , hãy sử dụng máy tính fx - 570 để tính gần đúng . a). Số hạng thứ 6 của cấp số . b. Tổng S6 và tích P6 của 6 số hạng đầu tiên của cấp số . 3. Dạng toán về cấp số nhân : ¸¸ a1, a2, a3 , ... , an Công bội : an+1 : an = q Số hạng thứ n : an = a1 . qn-1 Tổng n số hạng đầu : ( q > 1 ) hay ( q <1 ) Cấp số nhân lùi vô hạn : Tổng tất cả số hạng : ( çq ç< 1 ) BÀI TẬP ÁP DỤNG 1). Cho cấp số nhân ( un ) thỏa mãn u4 - u2 = 72 và u5 - u3 = 144 a). Tìm số hạng đầu tiên và công bội . b). Tính tổng số của 10 số hạng đầu tiên . c). Tính tổng S' = u3 + u6 + .... + u12 . 2). Tính tổng sau : S = 2 + 6 + 18 + . .. + 13122 3). Tính tổng sau : S = 4). Cho cấp số nhân : + 1 , 2 , - 1 , . . . Không dùng công thức , hãy sử dụng máy tính fx - 570 MS để tính gần đúng . a). Số hạng thứ 6 của cấp số . b. Tổng S6 và tích P6 của 6 số hạng đầu tiên của cấp số . 5). Cho cấp số nhân ( un ) thỏa mãn u4 - u2 = 12 và u5 - u3 = 24 a). Tìm số hạng đầu tiên và công bội . b). Tính tổng số của 10 số hạng đầu tiên . c). Tính tổng S' = u3 + u6 + .... + u12 . 6). Cho cấp số nhân ( un ) thỏa mãn u1 + u6 = 244 và u5 + u4 = 36 a). Tìm số hạng đầu tiên và công bội . b). Tính tổng số của 11 số hạng đầu tiên . 7). Tính tổng sau : S = 1 + 11 + 111 + . .. + 11... 1 ( 99 chữ số 1) 8). Tính tổng sau : 9). Cho cấp số nhân : + 2 , 1 , - 2 , . . . Không dùng công thức,hãy sử dụng máy tính fx-570MS để tính gần đúng . a). Số hạng thứ 6 của cấp số . b. Tổng S6 và tích P6 của 6 số hạng đầu tiên của cấp số . BÀI TẬP ÁP DỤNG TỔNG QUÁT Với máy Casio fx 570, các bài toán về tính số hạng thứ n , tổng hay tích của n số hạng đầu tiên của một dãy số được tính một cách dễ dàng . Ví dụ 1 : Viết 10 số hạng đầu tiên rồi tính tổng và tích của 10 số hạng ấy của dãy số có số hạng tổng quát . Giải : Gán A = 0 (biến đếm) ấn SHIFT STO A B = 0 (giá trị số hạng) ấn SHIFT STO B C = 0 (tổng) ấn SHIFT STO C D = 1 (tích) ấn SHIFT STO D Ghi A = A+1 : B=3^A f A3 : C = B + C : D = D B Ấn = máy hiện A = 1 (đếm n = 1) = máy hiện B = 3 (= 3) = máy hiện C = 3 (= 3) = máy hiện D = 3 ( = 3) Lại ấn tiếp = máy hiện A = 2 (đếm n = 2) = máy hiện B = 9/8 (= 9/8) = máy hiện C = 33 /8 (= 33/8) = máy hiện D = 27 /8 ( = 27/8) . . . . . . . tiếp tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = máy hiện A = 10 (đếm n = 10) = máy hiện B = 59049/1000 (= 59049/1000) = máy hiện C = 116.9492 (= 116.9492) = máy hiện D = 3650731.65 (= 3650731.65) Ví dụ 2. Cho cấp số cộng 3 , 10/3, 11/3 , 4 . . . Không dùng công thức , hãy sử dụng Casio fx- 570 MS để tính : a) Số hạng thứ 12. b). Tổng 12 số hạng và tích 12 số hạng đầu tiên. Giải : Gán D = 0 (biến đếm) A = 8/3 (số hạng trước ) B = 0 (tổng) C = 1 (tích) Ghi vào màn hình : D=D+1:A=A+1f 3:B=B+A:C=CA Và ấn = nhiều lần cho đến khi hiện D=12 thì A, B, C là kết quả phải tìm. Kết quả = 20/3 = 58 = 113540038.4 Ví dụ 3. Cho cấp số nhân 60 , 40, 80/3 . . . Không dùng công thức , hãy sử dụng máy CASIO fx- 570 MS để tính gần đúng : a) Số hạng thứ 20. b) Tổng 20 số hạng và tích 20 số hạng đầu tiên. Giải : Gán D = 0 (biến đếm) A = 90 (số hạng trước ) B = 0 (tổng) C = 1 (tích) Ghi vào màn hình D=D+1:A=A´2f 3:B=B+A:C=CA Và ấn = nhiều lần cho đến khi hiện D = 20 thì A, B, C là kết quả phải tìm. Kết quả = 0.0271 = 179.9459 = 127.5516 Ghi chú : Nếu đầu đề chỉ cho dãy số 60, 40 , 80/3 . . . mà không nói rõ đó là cấp số nhân thì người giải có thể nghĩ đến dãy số với số hạng tổng quát là và sẽ đi đến bài toán khác. Ví dụ 4 . Tìm số hạng thứ 29 và tính tổng 29 số hạng đầu tiên của dãy số Fibonaci. Giải : Cách 1 . Dùng số hạng tổng quát của dãy Gán A = 0 (biến đếm) B = 0 (số hạng trước ) C = 0 (tổng) Ghi vào màn hình A=A+1:B=(((1+)¸2)^A-((1-)¸2)^A)¸ : C=C+B Và ấn = nhiều lần cho đến khi hiện A = 29 thì B, C là kết quả phải tìm. Kết quả = 514229 = 1346268 Cách 2 : Dùng định nghĩa 1 , 1 , 2 . 3 , 5 , 8 , . . . Gán D = 2 (biến đếm) A = 1 (số hạng ) B = 1 (số hạng ) C = 2 ( Tổng 2 số hạng đầu) Ghi vào màn hình D=D+1:A=A+B:C=C+A:D=D+1:B=B+A:C=C+B Và ấn = nhiều lần cho đến khi hiện D=29 thìz A (hoặc B) và C hiện tiếp theo là kết quả phải tìm (giống cách 1). Ví dụ 5 : Tìm giá trị x nguyên để: a) 1+ » 142.717 KQ x= 130 b) 1 » 357,2708 KQ x = 31 c) 1 + » 5 KQ x = 83 d) = 1.71805(5) KQ x= 6 ( khi x®¥ thì tổng này ® e = 2.718281828459 . . . ) Ví dụ 6. Cho dãy số với mọi n³2 a) Tính b) Tính tổng 33 số hạng đầu tiên và tích 9 số hạng đầu tiên. Giải : Gán A = 3 ( Số hạng) B = 5 ( Số hạng) C = 8 ( Tổng 2 số số hạng đầu ) D = 2 (Biến đếm ) E = 15 ( Tích 2 số hạng đầu) Ghi vào màn hình D=D+1 : A=3B-2A-2 : C=C+A : E=EA : D=D+1 :B=3A-2B-2 :C=C+B : E=EB Sau đó ấn = nhiều lần , khi thấy hiện D = 9 thì đọc = 19 , = 99, = 654729075 Ấn tiếp = nhiều lần , khi thấy hiện D = 33 thì đọc = 67 , = 1155 Ta có thể giải bài này bằng cách dùng biểu thức lặp 3 biến như sau: Gán A = 3 , B = 5 rồi ghi vào màn hình C = 3B – 2A – 2 : A = 3C 2B – 2 : B = 3A – 2C – 2 Và ấn = . . . , ta được Muốn khỏi đếm miệng (dễ lầm) và tính tổng , ta cài thêm biến đếm D=D+1 (gán trước D=2) trước mỗi số hạng và biến tổng E=E+C (gán trước E=8) sau C ; E=E+A sau A và E=E+B sau B (nhưng biểu thức sẽ dài) Thực ra đây chỉ là cấp số cộng với hai số hạng đầu là 3 , 5 , . . . có thể chứng minh bằng quy nạp như sau: + Kiểm tra đúng với n = 1 + Giả sử công thức đúng với n = k nghĩa là công thức cũng đúng với n = k+1 Kết luận công thức đúng với mọi n ³ 1 Ghi chú . Một tính chất nào đó đúng với nhiều giá trị liên tiếp của n mà chưa được chứng minh bằng quy nạp ta vẫn chưa dùng được Ví dụ 7 : Một đa thức P(x) = x. . . . . . +x+m có P(1) = 1 , P(2) = 2 , P(3) = 3 , P(4) = 4 , P(5) = 5 , P(6) = 6 , P(7) = 7 , P(8) = 8, P(9) = 9, P(10) = 10 , P(11) = 11 . Thì P(x) =(x-1)(x-2)(x-3). . . . . . . .(x-10)(x-11)+x.Do đó P(12)=11!+12 = 39916812 . BÀI TẬP 1). Tính giá trị của biểu thức : B = 2). Cho a). Lập quy trình để tính Sn . b). Tính S20 , S21 , S22 , S23 , S2003 . 3). Cho dãy số Un = , n dấu căn . Tìm U11 với 9 chữ số thập phân . 4). Cho tổng . n ³ 1 .Tìm S15 với 9 chữ số thập phân . 5). Cho dãy số x1 = 1 ; xn+1 = 1 + , n = 1, 2, 3, ... a). Lập một qui trình tính xn . b). Tính chính xác xn với n = 5, 6, ... , 10 . c). Tìm một số M lớn hơn tất cả các số hạng có chỉ số lẻ và nhỏ hơn tất cả các số hạng có chỉ số chẵn của dãy trên . 6). Cho dãy số an được xác định như sau : a1 = 1, a2 = 2, an+2 = , với mọi n Ỵ N* Tính tổng của 10 số hạng đầu của dãy số đó . 7. Cho dãy số an được xác định như sau: a1 = 1, a2 = 2, a3 = 2 ,an+3= , với mọi n Ỵ N* .Tính giá trị số hạng thứ 15 của dãy số đó . 8). Kí hiệu trong đó x1 , x2 là nghiệm của phương trình bậc hai x2 - 8x + 1 = 0 . a). Lập công thức truy hồi tính Sn+1 theo Sn và Sn-1 . b). Lập một quy trình tính Sn trên máy tính Casio fx 570MS . c). Tính Sn theo quy trình trên và tính S' theo công thức : với n = 1,2, ..., 11. 9). Cho dãy số a1 = 3, ... , a). Lập quy trình bấm phím tính an+1 b). Tính an với n = 2, 3 , 4 , . . . 10 File đính kèm:
Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạnCảm ơn các bạn đã ghé thăm Blog của mình. Trong các dãy số là cấp số nhân, có một loại cấp số nhân đặc biệt đó là cấp số nhân lùi vô hạn. Bài viết dưới đây sẽ hướng dẫn các bạn các công thức liên quan cấp số nhân loại này. 1. Cấp số nhân là gì?Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q. Định nghĩa:Dãy số (Un)được xác định bởi: thì dãy số này được gọi là cấp số nhân, q là công bội. Như vậy ta có thể hiểu cấp số nhân có dạng: a,aq,aq2,aq3, aq4,..với a là số hạng đầu tiên và q là công bội. Ví dụ:Cấp số nhân có số hạng đầu bằng 2 và công sai bằng 2 là 2,4,8,16,32,64,128… 2. Cấp số nhân lùi vô hạna. Cấp số nhân lùi vô hạn là gì? (un) có công bội q, |q|<1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Ví dụ các dãy số sau đều là CSN lùi vô hạn: b. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn Chuyển qua giới hạn cả hai vế ta được: Đây chính là công thức tính tổng của CSN lùi vô hạn. Ví dụ 2: Viết dưới dạng phân số của số thập phân tuần hoàn vô hạn sau 4,(2). Lời giải Ta có: Ví dụ 3: Cho cấp số nhân có số hạng đầu bằng 4 và công bội bằng 0,5. Tính tổng tất cả các số hạng của cấp số nhân đó. Lời giải Áp dụng công thức ta có tổng tất cả các số hạng của cấp số nhân là Ví dụ 4: Tổng các số hạng của một cấp số nhân lùi vô hạn bằng 56, còn tổng các bình phương của các số hạng của nó bằng 448. Số hạng đầu của cấp số nhân thuộc khoảng nào sau đây? Lời giải |
