Phương pháp giải: - Để một số chia hết cho 15 thì số đó phải chia hết cho 3 và cho 5. - Xét các trường hợp sau: TH1: \(d = 0\), số cần tìm có dạng \(\overline {abc0} \). + \(a,\,\,b,\,\,c \equiv 3\,\,\left( {\bmod 1} \right) \Rightarrow a,\,\,b,\,\,c \in \left\{ {1;4;7} \right\}\). + \(a,\,\,b,\,\,c \equiv 3\,\,\left( {\bmod 2} \right) \Rightarrow a,\,\,b,\,\,c \in \left\{ {2;5;8} \right\}\). + Trong 3 số \(a,\,\,b,\,\,c\) có 1 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2. TH2: \(d = 5\), số cần tìm có dạng \(\overline {abc5} \). + Trong 3 số \(a,\,\,b,\,\,c\) có 2 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1. + Trong 3 số \(a,\,\,b,\,\,c\) có 1 số chia hết cho 3, 2 số chia 3 dư 3. + Trong 3 số \(a,\,\,b,\,\,c\) có 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2. Lời giải chi tiết: Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là \(\overline {abcd} \,\,\left( {a \ne 0} \right)\). Để một số chia hết cho 15 thì số đó phải chia hết cho 3 và cho 5. \( \Rightarrow d \in \left\{ {0;5} \right\}\). TH1: \(d = 0\), số cần tìm có dạng \(\overline {abc0} \). Để số cần tìm chia hết cho 3 thì \(a + b + c\,\, \vdots \,\,3\). Ta có các nhóm: \(\left\{ \begin{array}{l}\left\{ {0;9} \right\}\,\, \equiv \,\,3\left( {\bmod 0} \right)\\\left\{ {1;4;7} \right\} \equiv 3\,\,\left( {\bmod 1} \right)\\\left\{ {2;8} \right\} \equiv 3\,\,\left( {\bmod 2} \right)\end{array} \right.\) Câu hỏi: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau, chia hết cho 15 và mỗi chữ số đều không vượt quá 5. Lời giải Phương pháp giải: Đáp án A.
- Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là \[\overline {abcd} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {a;b;c;d \in \left\{ {0;1;2;3;4;5} \right\},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} a \ne b \ne c \ne d} \right)\]. - Vì \[\overline {abcd} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vdots {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 15\] nên \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overline {abcd} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vdots {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 5 \Rightarrow d \in \left\{ {0;5} \right\}}\\{\overline {abcd} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vdots {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 3}\end{array}} \right.\]. - Ứng với mõi trường hợp của d, tìm các cặp số \[a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c\] tương ứng. Giải chi tiết: Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là \[\overline {abcd} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {a;b;c;d \in \left\{ {0;1;2;3;4;5} \right\},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} a \ne b \ne c \ne d} \right)\]. Vì \[\overline {abcd} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vdots {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 15\] nên \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overline {abcd} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vdots {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 5 \Rightarrow d \in \left\{ {0;5} \right\}}\\{\overline {abcd} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vdots {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 3}\end{array}} \right.\]. + TH1: \[d = 0\], số cần tìm có dạng \[\overline {abc0} \] \[ \Rightarrow a + b + c{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vdots {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 3\]. Các bộ ba chữ số chia hết cho 3 là \[\left\{ {1;2;3} \right\};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left\{ {1;3;5} \right\};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left\{ {2;3;4} \right\};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left\{ {3;4;5} \right\}\]. ⇒ có \[4.3! = 24\] cách chọn \[a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c\]. ⇒ Có 24 số thỏa mãn. TH2: \[d = 5\], số cần tìm có dạng \[\overline {abc5} \] \[ \Rightarrow a + b + c + 5{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vdots {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 3\] \[ \Rightarrow a + b + c\] chia 3 dư 1. Các bộ ba chữ số chia 3 dư 1 là \[\left\{ {0;1;3} \right\};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left\{ {1;2;4} \right\};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left\{ {0;3;4} \right\}\]. |
