Cho parabol \((P):{y^2} = 2px.\)Với mỗi điểm M trên (P) (M khác O), gọi M là hình chiếu của M trên Oy và I là trung điểm của đoạn OM. Chứng minh rằng đường thẳng IM cắt parabol đã cho tại một điểm duy nhất. Đề bài Cho parabol \((P):{y^2} = 2px.\)Với mỗi điểm M trên (P) (M khác O), gọi M là hình chiếu của M trên Oy và I là trung điểm của đoạn OM. Chứng minh rằng đường thẳng IM cắt parabol đã cho tại một điểm duy nhất. Lời giải chi tiết  Giả sử \(M({x_o}\,;\,{y_o})\,\, \in \,\,\,(P)\) ta có \(y_o^2 = 2p{x_o}\,({x_o} \ne 0)\). M là hình chiếu của M trên Oy nên \(M'(0\,;\,{y_o})\), khi đó \(I\left( {0\,;\,{{{y_o}} \over 2}} \right)\) \( \Rightarrow \,\,\overrightarrow {IM} = \left( {{x_o}\,;\,{{{y_o}} \over 2}} \right)\)là vectơ chỉ phương của đường thẳng IM. IM đi qua \(I\left( {0\,;\,{{{y_o}} \over 2}} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {IM} = \left( {{x_o}\,;\,{{{y_o}} \over 2}} \right)\) nênphương trình tham số là \(\left\{ \matrix{ Thay x, y trong phương trình tham số của IM vào phương trình của (P) ta được \(\begin{array}{l} Mà \(2p{x_o} = y_o^2\)nên \(\frac{{y_0^2}}{4}{\left( {1 + t} \right)^2} = y_0^2t \)\(\Leftrightarrow y_o^2(1 + {t})^2 = 4y_o^2t \Leftrightarrow (1 + {t})^2 = 4t\,\,\)( do \({y_o} \ne 0\)) \( \Leftrightarrow 1 + 2t + {t^2} - 4t = 0 \) \(\Leftrightarrow {t^2} - 2t + 1 = 0 \) \(\Leftrightarrow {\left( {t - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow t = 1\) Vậy IM cắt (P) tại điểm duy nhất \(M({x_o}\,;\,{y_o})\,\).
|
