Đề bài - bài 1 trang 126 sgk hình học 10 nâng cao

Đề bài

Trên hình 105, ta có tam giác ABC và các hình vuông \(A{A'}{B_1}B,\,\,B{B'}{C_1}C,\,\,C{C'}{A_1}A\).

Chứng minh các đăng thức sau:

a) \((\overrightarrow {A{A'}} + \overrightarrow {B{B'}} ).\,\overrightarrow {AC} = 0\)

b) \((\overrightarrow {A{A'}} + \overrightarrow {B{B'}} + \overrightarrow {C{C'}} ).\,\overrightarrow {AC} = 0\)

c) \(\overrightarrow {A{A'}} + \overrightarrow {B{B'}} + \overrightarrow {C{C'}} = 0\)

d) \(\overrightarrow {A{B_1}} + \overrightarrow {B{C_1}} + \overrightarrow {C{A_1}} = 0\)

Lời giải chi tiết

a) Kẻ \(AH \bot BC\)ta chứng minh đường thẳng AH cắt AA1tại trung điểm I của AA1.

Ta có: \({A'}M \bot AH\,,\,\,{A_1}N \bot AH\)

\(\eqalign{
& \Delta AHB = \Delta{A'}MA\,\,\, \Rightarrow \,\,{A'}M = AH \cr
& \DeltaAHC = \Delta{A_1}NA\,\,\, \Rightarrow \,\,{A_1}N = AH \cr} \)

Từ đó suy ra: \(\DeltaIM{A'} = \DeltaIN{A_1}\,\,\, \Rightarrow \,\,I{A'} = \,\,I{A_1}\,\)

Tương tự gọi J là trung điểm \({B_1}{B'}\)thì \(BJ \bot AC\).

Ta có

\(\overrightarrow {A{A'}} + \overrightarrow {B{B'}} = \overrightarrow {B{B_1}} + \overrightarrow {B{B'}} = 2\overrightarrow {BJ} \)

\(\Rightarrow \,\,(\overrightarrow {A{A'}} + \overrightarrow {B{B'}} ).\,\overrightarrow {AC} = 0\).

Cách khác:

d) Ta có

\(\eqalign{
& \overrightarrow {A{B_1}} + \overrightarrow {B{C_1}} + \overrightarrow {C{A_1}}\cr& = \overrightarrow {A{A'}} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {B{B'}} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {C{C'}} + \overrightarrow {CA} \cr
& = (\overrightarrow {A{A'}} + \overrightarrow {B{B'}} + \overrightarrow {C{C'}}) + (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} )\cr &= \overrightarrow 0 +\overrightarrow 0=\overrightarrow 0\cr} \)