Sách giải toán 7 Bài 2: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu – Luyện tập (trang 59-70) giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 7 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác: Hãy dùng êke để vẽ và tìm hình chiếu của điểm A trên d. Vẽ một đường xiên từ A đến d, tìm hình chiếu của đường xiên này trên d.  Lời giải Sau khi vẽ theo yêu cầu đề bài, ta có: – Kẻ AH ⊥ d, H ∈ d ⇒ H là hình chiếu của A trên d – Trên d lấy điểm B ≠ H . Nối AB ⇒ AB là đường xiên từ A đến d Hình chiếu của đường xiên AB trên d là HB Lời giải – Từ một điểm A không nằm trên đường thẳng d, ta có thể kẻ được 1 đường vuông góc với d – Từ một điểm A không nằm trên đường thẳng d, ta có thể kẻ được vô số đường xiên đến d Lời giải Xét tam giác AHB vuông tại H Áp dụng định lí Py-ta-go ta có: AB2 = AH2 + BH2 ⇒ AB2 > AH2 ⇒ AB > AH Hay AH < AB a) Nếu HB > HC thì AB > AC; b) Nếu AB > AC thì HB > HC; c) Nếu HB = HC thì AB = AC, và ngược lại, nếu AB = AC thì HB = HC.
Lời giải Xét tam giác AHB vuông tại H Áp dụng định lí Py-ta-go ta có: AB2 = AH2 + HB2 (1) Xét tam giác AHC vuông tại H Áp dụng định lí Py-ta-go ta có: AC2 = AH2 + HC2 (2) a) Nếu HB > HC ⇒ HB2 > HC2. ⇒ AH2 + HB2 > AH2 + HC2 Kết hợp với 2 điều kiện (1) và (2) ⇒ AB2 > AC2 ⇒ AB > AC b) AB > AC ⇒ AB2 > AC2 Kết hợp với 2 điều kiện (1) và (2) ⇒ AH2 + HB2 > AH2 + HC2 ⇒ HB2 > HC2 ⇒ HB > HC c) – Nếu HB = HC ⇒ HB2 = HC2. ⇒ AH2 + HB2 = AH2 + HC2 Kết hợp với 2 điều kiện (1) và (2) ⇒ AB2 = AC2 ⇒ AB = AC – Nếu AB = AC ⇒ AB2 = AC2 Kết hợp với 2 điều kiện (1) và (2) ⇒ AH2 + HB2 = AH2 + HC2 ⇒ HB2 = HC2 ⇒ HB = HC Bài 2: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu a) HB = HC; b) HB > HC; c) HB < HC. Lời giải: Dựa vào hình vẽ, ta có: AB, AC là hai đường xiên kẻ từ A đến BC. HB là hình chiếu của AB trên đường thẳng BC. HC là hình chiếu của AC trên đường thẳng BC. Mà AB < AC nên HB < HC (Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn). Vậy c) đúng. Bài 2: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu Hỏi rằng bạn Nam tập bơi như thế có đúng mục đích đề ra hay không (ngày hôm sau có bơi xa hơn ngày hôm trước hay không)? Vì sao? Lời giải: + Nhận thấy các điểm A, B, C, D, … cùng nằm trên một đường thẳng. Gọi đường thẳng đó là đường thẳng d. + Theo định nghĩa: MA, MB, MC, MD, … là các đường xiên kẻ từ M đến d. MA là đường vuông góc kẻ từ M đến d AB là hình chiếu của MB trên d AC là hình chiếu của MC trên d AD là hình chiếu cùa MD trên d … + Theo định lý 1, MA là đường ngắn nhất trong các đường MA, MB, MC, … + Theo định lý 2: AB < AC < AD < … nên MB < MC < MD < … (đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn). Vậy MA < MB < MC < MD < … nên bạn Nam đã tập đúng mục đích đề ra. Bài 2: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu Luyện tập (trang 59-60 sgk Toán 7 Tập 2) Lời giải: Giả sử ΔABC cân tại A, M là điểm thuộc cạnh đáy BC, ta chứng minh AM ≤ AB; AM ≤ AC. – TH1 : Nếu M ≡ B hoặc M ≡ C (Kí hiệu đọc là trùng với) thì AM = AB = AC.
– TH2 : Nếu M nằm giữa B và C và M ≠ B; M ≠ C. Kẻ AH ⊥ BC tại H + Nếu M ≡ H ⇒ AM ⊥ BC tại M hay AM là đường vuông góc từ A đến BC. Mà AB, AC là các đường xiên từ A đến đường thẳng BC. Theo định lí 1 : Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường thẳng vuông góc là đường ngắn nhất. ⇒ AM < AB và AM < AC. + Nếu M ≠ H giả sử M nằm giữa H và C ⇒ MH < CH. Vì MH và CH lần lượt là hình chiếu của MA và CA trên đường BC Mà MH < CH ⇒ MA < CA (đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn). Chứng minh tương tự nếu M nằm giữa H và B Vậy mọi vị trí của M trên cạnh đáy BC thì AM ≤ AB = AC. Bài 2: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu Luyện tập (trang 59-60 sgk Toán 7 Tập 2) Cho hình 13. Dùng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác để chứng minh rằng: Nếu BC < BD thì AC < AD Hướng dẫn: a) Góc ACD là góc gì? Tại sao? b) Trong tam giác ACD, cạnh nào lớn nhất, tại sao?
Lời giải: a) Ta có BC < BD mà C, D nằm cùng phía so với B ⇒ C nằm giữa B và D. b) Trong tam giác ACD có góc ACD là góc tù . Mà AD là cạnh đối diện với góc ACD. ⇒ AD là cạnh lớn nhất trong tam giác ACD (cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất trong tam giác). nên AD > AC hay AC < AD Vậy Nếu : BC < BD thì AC < AD. Bài 2: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu Luyện tập (trang 59-60 sgk Toán 7 Tập 2) Một tấm gỗ xẻ có hai cạnh song song. Chiều rộng của tấm gỗ là khoảng cách giữa hai cạnh đó. Muốn đo chiều rộng của tấm gỗ, ta phải đặt thước như thế nào? Tại sao? Cách đặt thước như trong hình 15 có đúng không? Lời giải: Dựa vào hình 14 ta nhận thấy khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là độ dài của đoạn thẳng có hai đầu nằm trên hai đường thẳng và vuông góc với cả hai đường thẳng đó. Vì vậy muốn đo bề rộng của một tấm gỗ chính là xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng song song ta phải đặt thước vuông góc với hai cạnh song song của tấm gỗ. Cách đặt thước như trong hình 15 là sai. Bài 2: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu Luyện tập (trang 59-60 sgk Toán 7 Tập 2)
Một tấm gỗ xẻ có hai cạnh song song. Chiều rộng của tấm gỗ là khoảng cách giữa hai cạnh đó. Muốn đo chiều rộng của tấm gỗ, ta phải đặt thước như thế nào? Tại sao? Cách đặt thước như trong hình 15 có đúng không? Lời giải: Dựa vào hình 14 ta nhận thấy khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là độ dài của đoạn thẳng có hai đầu nằm trên hai đường thẳng và vuông góc với cả hai đường thẳng đó. Vì vậy muốn đo bề rộng của một tấm gỗ chính là xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng song song ta phải đặt thước vuông góc với hai cạnh song song của tấm gỗ. Cách đặt thước như trong hình 15 là sai. Bài 2: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu Luyện tập (trang 59-60 sgk Toán 7 Tập 2) a) BE < BC; b) DE < BC. Lời giải: a) Ta có: BE, BC là hai đường xiên vẽ từ B đến đường AC. BA ⏊ AC tại A nên A là hình chiếu của B trên AC ⇒ AE, AC lần lượt là hình chiếu của BE, BC. Trong hình vẽ E nằm giữa A và C ⇒ AE < AC ⇒ BE < BC (đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn). b) Trong hình vẽ D nằm giữa A và B ⇒ AD < AB Ta có: ED, EB là hai đường xiên vẽ từ E đến đường AB EA ⏊ AB tại A nên A là hình chiếu của E trên AB. ⇒ AD, AB lần lượt là hình chiếu của ED, EB trên AB Trong hình vẽ D nằm giữa A và B ⇒ AD < AB nên ED < EB hay DE < BE (đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn). Kết hợp với kết quả câu a suy ra DE < BE < BC ⇒ DE < BC. Bài 2: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu Luyện tập (trang 59-60 sgk Toán 7 Tập 2) Lấy điểm M trên đường thẳng QR sao cho PM = 4,5cm. Có mấy điểm M như vậy? Điểm M có nằm trên cạnh QR hay không? Tại sao? Lời giải: * Vẽ hình: – Vẽ tam giác PQR có PQ = PR = 5cm, QR = 6cm. + Vẽ đoạn thẳng QR = 6cm. + Vẽ cung tròn tâm Q và cung tròn tâm R bán kính 5cm. Hai cung tròn này cắt nhau tại P. + Nối PQ và PR ta được tam giác cần vẽ. – Vẽ điểm M : Vẽ cung tròn tâm P bán kính 4,5cm cắt QR (nếu có) tại M. * Kẻ đường cao PH của ΔPQR Xét hai tam giác vuông tại H: ΔPHQ và ΔPHR có PH chung PQ = PR ( = 5cm) ⇒ ΔPHQ = ΔPHR (cạnh huyền – cạnh góc vuông) ⇒ HQ = HR (Hai cạnh tương ứng) Mà HQ + HR = QR = 6 cm
+ ΔPHR vuông tại H có PR2= PH2+ HR2(định lí Py – ta – go) ⇒ PH2= PR2– HR2= 52– 32= 16 ⇒ PH = 4cm . Đường vuông góc PH = 4cm là đường ngắn nhất trong các đường kẻ P đến đường thẳng QR. Vậy chắc chắn có đường xiên PM = 4,5cm (vì PM = 4,5cm > 4cm) kẻ từ P đến đường thẳng QR. + Lại có : HM, HR lần lượt là hình chiếu của các đường xiên PM, PR trên đường thẳng QR. Mà PM < PR ⇒ HM < HR = HQ (đường xiên nào lớn hơn thì hình chiếu lớn hơn). ⇒ M nằm giữa H và Q hoặc H và R ⇒ M nằm trên cạnh QP và có hai điểm M như vậy. |
