Tích phân từng phần trong toán học là quy trình tính tích phân của tích các hàm dựa trên đạo hàm và nguyên hàm. Áp dụng quy tắc/công thức tích hợp để biến đổi nguyên hàm của tích các hàm, giúp tìm thấy đáp án dễ dàng hơn trong các bài toán tích phân phức tạp. Vậy các công thức đó là gì? Hãy cùng VOH Giáo dục tìm hiểu chi tiết về tích phân từng phần, công thức tính cũng như một số ví dụ về dạng bài tập cơ bản trong bài viết ngay sau đây. 1. Tích phân từng phần là gì?Định nghĩa theo Wikipedia: “Trong vi tích phân nói riêng, và trong giải tích toán học nói chung, tích phân từng phần là quá trình tìm tích phân của tích các hàm dựa trên tích phân các đạo hàm và nguyên hàm của chúng. Nó thường được sử dụng để biến đổi nguyên hàm của tích các hàm thành một nguyên hàm mà đáp án có thể được tìm thấy dễ dàng hơn. Quy tắc có thể suy ra bằng cách tích hợp quy tắc nhân của đạo hàm.” 2. Công thức tích phân từng phầnĐể tính tích phân từng phần, người ta thường áp dụng theo công thức sau: Đối với dạng bài tập tính tích phân từng phần, ta cần quan tâm tới thứ tự ưu tiên đặt u. Trước hết cần đặt u và v sao cho du và dv dễ tính nhất. Cách đơn giản nhất là ta nên chọn ku và kv với k=1. Bởi nếu k là một số khác thì đạo hàm sẽ trở nên rắc rối và phức tạp hơn. Cách đặt trong tích phân từng phần rất quan trọng, việc đặt càng đơn giản thì bài toán cũng sẽ trở nên dễ giải hơn. Sau đây là các bước giải bài toán tích phân từng phần: Công thức tính tích phân từng phần cũng được chia ra các dạng như sau: 3. Một số ví dụSau đây là một số ví dụ về dạng bài tập giải tích phân từng phần, cùng cách giải cụ thể: Trên đây VOH Giáo dục đã chia sẻ đến các em học sinh tổng quan về tích phân từng phần có công thức và dạng bài tập cho các em tham khảo. Tích phân từng phần là dạng bài tập chiếm số điểm quan trọng trong bài kiểm tra môn toán lớp 12 hay các bài thi tốt nghiệp quốc gia hàng năm. Các em học sinh nên chú ý luyện tập thật kĩ về dạng bài tập này. Chúc các em học tốt! Nguyên hàm tích phân là một trong những nội dung quan trọng thường xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp THPT quốc gia để xét vào đại học. Nếu đã nắm vững phần nguyên hàm thì việc tính tích phân xác định với phương pháp tích phân từng phần sẽ rất dễ dàng với các em. Vậy công thức cách tính Tích phân từng phần như thế nào? Bài viết dưới đây, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu các dạng bài tập tính tích phân xác định mà ta phải vận dụng phương pháp tích phân từng phần để giải, qua đó, giải các bài tập minh họa để các em hiểu rõ hơn. » Đừng bỏ lỡ: Tính tích phân bằng phương pháp Đổi biến số và Bài tập có lời giải chi tiết, dễ hiểu
• Nếu u(x) và v(x) là các hàm số có đạo hàm và liên tục trên [a;b] thì:  hay • Áp dụng công thức trên ta có cách tính tích phân từng phần như sau: - Bước 1: Viết f(x)dx dưới dạng udv = uv'dx bằng cách chọn một phần thích hợp của f(x) làm u(x) và phần còn lại dv = v'(x)dx. - Bước 2: Tính du = u'dx và v = ∫dv = ∫v'(x)dx - Bước 3: Tính \> Lưu ý: Phương pháp tích phân từng phần thường được vận dụng khi hàm dưới dấu tích phân là tích của hai loại hàm số khác nhau (đa thức - logarit, đa thức - lượng giác, lượng giác - hàm mũ,...). II. Một số dạng bài tập vận dụng tích phân từng phần thường gặp • Tính tích phân hàm đa thức P(x) và hàm logarit nepe (lnx): - Ta đặt u = lnx, dv = P(x)dx • Tính tích phân hàm đa thức P(x) và hàm lượng giác (sinx; cosx): - Ta đặt u = P(x), dv = sinxdx (hoặc dv = cosxdx) • Tính tích phân hàm mũ (ex) và hàm lượng giác (sinx; cosx): - Ta đặt u = ex , dv = sinxdx (hoặc dv = cosxdx). Tính hai lần • Tính tích phân hàm mũ (ex) và hàm đa thức P(x): - Ta đặt u = P(x) , dv = exdx III. Bài tập tích phân từng phần có lời giải * Bài tập 1: Tính các tích phân sau bằng phương pháp tích phân từng phần * Lời giải: Đặt - Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có: - Đặt - Áp dụng công thức tích phân từng phần ta được: Vậy B = 2. - Đặt - Áp dụng công thức tính tích phân từng phần ta được Vậy - Đặt - Áp dụng công thức tích phân từng phần ta được: - Xét: - Đặt * Bài tập 2: Tính tích phân sau: * Lời giải: - Ta đặt: - Khi đó, ta có: - Ta có: - Ta đặt: - Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta được: * Bài tập 3: Tích các tích phân * Lời giải: - Đặt - Áp dụng công thức tích phân từng phần: - Đặt IV. Bài tập tích phân từng phần tự giải * Bài tập 1: Tính các tích phân sau: * Bài tập 2: Tính các tích phân sau: * Hướng dẫn:
* Bài tập 3: Tính các tính phân sau: * Bài tập 4: Tính các tính phân sau: * Hướng dẫn:
dv = cos2xdx → v = sin2x/2
Như vậy, với nội dung bài viết về tích phân từng phần và bài tập có lời giải ở trên, việc quan trọng nhất là các em cần nhớ đặt u là gì và dv là gì để thuận tiện việc tính được du và chọn nguyên hàm v. Thông thường nếu đặt đúng u và dv thì ta sẽ thấy tích phân thu được sẽ dễ tính hơn, nếu đặt sai thì tích phân thu được sẽ khó hơn tích phân ban đầu. |
